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泊松方程

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泊松方程是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程。是因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 [1] 
泊松首先在無引力源的情況下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；當考慮引力場時，有△Φ=f（f為引力場的質量分佈）。後推廣至電場磁場，以及熱場分佈。該方程通常用格林函數法求解，也可以分離變量法，特徵線法求解。
中文名
泊松方程
外文名
Poisson's Equation
別    名
泊瓦桑方程
性    質
偏微分方程
名字由來
因法國數學家泊松而得名
公    式
△φ=f

目錄

  1. 1 方程的敍述
  2. 2 數學表達
  3. 3 應用

泊松方程方程的敍述

泊松方程為 [2] 
在這裏
代表的是拉普拉斯算子，而f和
可以是在流形上的實數或複數值的方程。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為
，因此泊松方程通常寫成
在三維直角座標系，可以寫成
如果有
恆等於0，這個方程就會變成一個齊次方程，這個方程稱作“拉普拉斯方程”。
泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程。有很多種數值解。像是鬆弛法，不斷迴圈的代數法，就是一個例子。

泊松方程數學表達

通常泊松方程表示為
這裏代表拉普拉斯算子，f為已知函數，而為未知函數。當 f=0時，這個方程被稱為拉普拉斯方程。
為了解泊松方程我們需要更多的信息，比如狄利克雷邊界條件:
其中
為有界開集。
這種情況下利用基礎函數構建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基礎函數為:
其中
為n維歐幾里得空間中單位球面的體積，此時可通過卷積得到
的解。
為了使方程滿足上述邊界條件，我們使用格林函數
為一個校正函數，它滿足
通常情況下
是依賴於
。
通過
可以給出上述邊界條件的解
其中
表示
上的曲面測度。
此方程的解也可通過變分法得到。

泊松方程應用

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制（SI）中：
此
代表電勢（單位為伏特），
是電荷體密度（單位為庫侖/立方米），而
是真空電容率（單位為法拉/米）。
如果空間中某區域的淨帶電粒子為0，則
此方程就變成拉普拉斯方程：
高斯電荷分佈的電場
如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度
：
此處，Q代表總電荷
此泊松方程：
的解Φ(r)則為
erf(x)代表的是誤差函數。
注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場
；正如我們所預期的。
參考資料
  • 1.    Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (編), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005, ISBN 9780922152766.
  • 2.    Hazewinkel, Michiel (編), Poisson equation, 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4