分離變量法

數學上，分離變量法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以借代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變量，而剩餘部分則跟此變量無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。 ^[1] 

利用高數知識、級數求解知識，以及其他巧妙的方法，求出各個方程的通解。最後將這些通解“組裝起來”。分離變量法是求解波動方程初邊值問題的一種常用方法。

假若，一個常微分方程可以寫為 ^[2] 

。

設定變量 y=f(x)。那麼，

．(1)

只要是

，就可以將方程式兩邊都除以h(y) ，再都乘以 dx ：

。

這樣，可以將兩個變量x ，y 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變量無關，表達式恆等於常數k 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；

。

有些不喜歡用萊布尼茨標記(Leibniz's notation) 的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變量法？

隨着 x積分公式的兩邊，可以得到

。(2)

應用換元積分法，

。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數

當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。

給予一個n 元函數

的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為 ^[2] 

，

或者

。

時常，對於每一個自變量

，都會伴隨着一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程(separable partial differential equation)。

設複數

，兩邊對

求導數，得

分離變量，得

對兩邊積分，得

即

取

得，

，故有

，即