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https://baike.baidu.hk/item/協變微分/528796
協變微分
鎖定
在
數學分析
裏,我們已有了一個
函數
的
微分
和
導數
的概念。 這一概念中, 微分的對象是一個
純量
函數,其
定義域
是
歐氏空間
的一個
區間
,
求導
的方向就是
座標軸
的方向(
方向導數
,
梯度
)。
中文名
協變微分
類 型
數學術語
在
微分幾何
裏,人們希望推廣這個概念到一般
微分流形
上。首先
求導
(或求微)的對象從函數推廣到
向量場
(就是
向量叢
的
截面
,如
切向量
場和
餘切向量
場),
定義域
則移到了整個流形上(不再是平坦的空間), 求導的方向可以是任何切向量的方向。 這樣得到的
導數
就稱為
協變導數
,其微分稱為協變微分。
從局部上看,這樣的導數和我們以前的
偏導數
相比多出了一堆
修正值
。這些修正值就是所謂的
聯絡
---這是近代微分幾何最重要的概念。 粗略的講,聯絡就是反映流形在外部大空間中看,所處的位置和彎曲程度。 但是,值得注意的是,我們定義的
協變
導數和協變微分實際上是內藴的(就是説只和流形有關,與它的外部無關)。
如果是
黎曼流形
(就是有度量的流形),則可以唯一定義一種聯絡,稱為
列維-奇維塔聯絡
,從而有了一種協變微分定義。
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最近更新:
体讲科学基础
(2023-08-03)
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