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列維-奇維塔聯絡
鎖定
- 中文名
- 列維-奇維塔聯絡
- 外文名
- Levi-Civita connection
- 所屬學科
- 微分幾何
列維-奇維塔聯絡定義
列維-奇維塔聯絡簡介
黎曼幾何基本定理表明存在唯一聯絡滿足這些屬性。
列維-奇維塔聯絡黎曼幾何
微分幾何中,黎曼幾何(英語:Riemannian geometry)研究具有黎曼度量的光滑流形,即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。
19世紀,波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。
任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。
[2]
列維-奇維塔聯絡偽黎曼流形
偽黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定(通常要求非退化)。因為每個正定形式都是非退化的,所以黎曼度量也是一個偽黎曼度量,亦即黎曼流形是偽黎曼流形的一種特例。
偽黎曼流形的符號
稱為洛倫茲度量。擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外,洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有
符號的洛倫茲流形的模型。
有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維-奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面,黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如,並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量;因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。
[3]
列維-奇維塔聯絡形式化定義
列維-奇維塔聯絡沿曲線的導數
列維-奇維塔聯絡也定義了一個沿曲線的導數,通常用
表示。
給定一個在
上的光滑曲線
和
上的一個向量場
,其導數定義如下
- 參考資料
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- 1. Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.
- 2. Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
- 3. Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. See Volume I pag. 158
- 4. Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II). Publish or Perish Press. ISBN 0-914098-71-3.
- 5. Jurgen Jost.黎曼幾何和幾何分析 第6版:Springer,2011
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