共變導數

對光滑流形M上光滑向量叢E，令Γ(E)為E的光滑截面。則共變導數為線性映射∇:Γ(E)→Γ(T*M⨂E)，滿足

∇(fσ)=df⨂σ+f∇σ，

其中f∈C^∞(M)，σ∈Γ(E)。 ^[2] 

設𝓗為ξ=π:E→M上的聯絡，且有聯絡映射κ。給定f:N→M，ξ沿f的截面X，u∈TN，則X對u的共變導數為∇_uX:=κX_*u∈E。

當N=M，f=1_M，∇稱為𝓗的共變導數算子。 ^[4] 

∇等價地可以視為∇:Γ(E)⨂Γ(TM)→Γ(E)，即有

∇_Vσ:=∇σ(V)，V∈T_xM。

∇對V保持張量性，對σ保持ℝ線性。 ^[3] 

若u∈T_pN，則∇_uX∈E_f(p)。故對U∈𝖃N，∇_UX為ξ沿f的截面，∇_UX(p):=∇_U(p)X。X為沿f平行，當且僅當對於∀U∈𝖃N，∇_UX=0。

∇_u(X+Y)=∇_uX+∇_uY。

∇_au+vX=a∇_uX+∇_vX，a∈ℝ。

∇_uhX=u(h)X(p)+h(p)∇_uX，h∈𝓕N。

若g:L→N，w∈TL，則∇_w(X∘g)=∇_g*ωX。 ^[4] 

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發佈。

《數學名詞》第一版。 ^[1]