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度量
(數學概念)
鎖定
度量(metric),亦稱距離函數,數學概念,是度量空間中滿足特定條件的特殊函數,一般用d表示。度量空間也叫做距離空間,是一類特殊的拓撲空間。弗雷歇(Fréchet,M.R.)將歐幾里得空間的距離概念抽象化,於1906年定義了度量空間。
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- 中文名
- 度量
- 外文名
- metric
- 所屬學科
- 一般拓撲學
- 別 名
- 距離函數
- 定 義
- 度量空間中滿足某條件的特殊函數
- 類 型
- 數學概念
度量提出
現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉,德國數學家G.康托爾創立了集合論,為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期,法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來,都涉及函數間的距離關係,從而抽象出度量空間的概念。
度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連接這兩點的線段的長度。
度量定義
若函數
對於任意x,y,z∈X滿足條件:
(a)
,等號當且僅當x=y時成立;(稱作正定性)
(b)
;(稱作對稱性)
度量例子
n維歐幾里得空間Rn按通常的度量構成度量空間。區間[0,1]上定義的連續實值函數的集合上賦予由
當d滿足條件a的後半部分及b、c時,d稱為偽度量,賦予偽度量的集合X稱為偽度量空間。當d滿足條件a、c時,d稱為擬度量,賦予擬度量的集合X稱為擬度量空間。
度量性質
d(x,y)為x與y之間的距離。在度量空間中,緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理,是豪斯多夫空間,完全正規空間,仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理,但一般不是豪斯多夫空間。
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度量直徑(有界度量)
直徑(diameter)是度量空間的基本概念之一。設M為度量空間(X,d)的子集,定義
度量拓展概念(完備度量空間)
完備度量空間是一類重要的度量空間。設(X,d)是度量空間,{xn}為X中的序列。若對於任意ε>0,存在n∈N,當 i,j≥n 時有