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雙線性形式

鎖定
設V是域F上的(n+1)維向量空間，如果函數σ：V×V→F，滿足條件：
σ(ax1+bx2，y)=aσ(x1，y)+bσ(x2，y)，a、b∈F，x1、x2、y∈V，
σ(x，ay1+by2)=aσ(x，y1)+bσ(x，y2)，a、b∈F，x、y1、y2∈V，
則σ稱為定義在V上的雙線性形式。 [1] 
中文名
雙線性形式
外文名
bilinearform
所屬學科
數學
相關概念
映射、二元映射、共軛線性等

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 相關定理
  1. ▪ 定理1
  2. ▪ 推論
  3. ▪ 定理2
  1. ▪ 推論
  2. ▪ 定理3

雙線性形式基本介紹

設H是Hilbert空間，
是自伴算子，令
則
滿足
(i)
；
(ii)
；
(iii)
。
(i)和(ii)實際是説，
關於第一個變元x是線性的，從(iii)知
關於第二個變元y是共軛線性的，即
我們可以利用上述性質給出一個更一般的概念。
定義1設H是Hilbert空間，如果二元映射
滿足：
(i)
(ii)
，
則稱
為H上的雙線性形式。 [2] 
如果條件(ii)代以更強的：
(iii)
，則稱
為H上共軛的雙線性形式。
如果一個雙線性形式
滿足：
(iv) 存在M≥o，使
則稱
為有界雙線性形式。
若雙線性形式
滿足：
(v)對任意
，則稱
為自伴雙線性形式。
如果共軛雙線性形式
滿足：
(vi)對所有的
，則稱
為正定的雙線性形式。
注: 雙線性形式關於後一個變量實際上是共軛線性的，故而有的書上又稱雙線性形式為一次半線性形式。
條件(vi)實際上只是半正定性，因為
並不能推出
，有時候我們仿照內積的記號，記雙線性形式
為
。
根據定義，對有界算子
是有界的雙線性形式，如果T還是自伴算子或正算子，則
還是自伴或正定的。 [2] 

雙線性形式相關定理

除了Hilbert空間上的有界線性算子誘導的雙線性形式之外，還有沒有其他的雙線性形式?下面我們就來討論這個問題。 [2] 

雙線性形式定理1

如果
是H上的有界雙線性形式，則存在唯一的有界算子T，使

雙線性形式推論

如果
是H上的有界共軛(正定)雙線性形式，則存在唯一的自伴(正)算子T，使
定義4 Hilbert空間H上的實函數
如果滿足：
(i)
(ii)
(iii) 存在M≥o，使
，則稱
為H上的有界實二次形式。
由此可見，對有界的共軛雙線性形式
，
是H上的有界實二次形式，那麼H上的任一有界實二次形式是否都是由某個共軛雙線性形式誘導的呢?下面的定理回答了這個問題。

雙線性形式定理2

設
是Hilbert空間H上的有界實二次形式，則存在唯一的有界共軛雙線性形式
，使

雙線性形式推論

如果
是H上有界實二次形式，則存在有界自伴算子T，使
。

雙線性形式定理3

如果
是H上的正定雙線性形式，則有
特別地，如果T是正算子，則有
上式稱為廣義Schwarz不等式。 [2] 
參考資料
  • 1.    梅嚮明，劉增賢．高等幾何學習指導與習題選解：高等教育出版社，2003年12月第1版
  • 2.    曹廣福，嚴從荃．實變函數論與泛函分析（第3版）（下冊）：高等教育出版社，2011.06