李括號

設M為光滑流形，U⊂M為開集，p∈U，X,Y∈𝖃U。定義X_pY:𝓕_pU→ℝ為(X_pY)f:=X_p(Yf)。

則X對Y的李括號為U上向量場[X,Y]，定義為[X,Y]p:=X_pY-Y_pX。 ^[2] 

李括號亦稱換位子，黎曼幾何中的一種運算。

李括號即從兩個 C^r 向量場得出一個新 C^r-1 向量場的一種運算。

它可看成 𝒳^r(M)×𝒳^r(M) 到𝒳^r-1(M) 的映射：

。使用局部座標表示：

若

則

從而，

是

向量場。

稱為向量場 X 和 Y 的李括號，也稱為泊松括號。

李括號具有以下性質：

1、滿足反交換律

；

2、ℝ雙線性；

3、滿足雅可比恆等式：(

X,Y,Z∈𝒳^r(M),2≤r)

因此，以 [ , ] 作為乘法，𝒳^∞(M) 成為一個李代數。李括號由此得名。 ^[1] 

李括號是一個這樣的映射，它作用於李代數中的兩個矢量，結果還是李代數中的一個矢量，用張量的觀點，李括號就是這個李代數上的一個 (1,2) 型張量，所以用抽象指標寫出來就是

。

如果給李代數選好基底，那麼這個張量C就有分量，這些分量就是常數的結構常數

希臘字母是編號指標，可以取12345...。英文字母是抽象指標。