切叢

切叢是微分流形M上的一種特殊的向量叢，記為TM，它的秩就等於流形M的維數的兩倍。切叢的截面就是我們説的切向量場。

幾何直觀上説， 切叢就是流形上每一點處的切空間“粘合”在一起得到的新流形--即向量叢。這是流形自帶的一個向量叢，它反映了該流形的大範圍性質和局部性質的聯繫。

設ξ=π:E→B為向量叢，π_*:TE→TB，由於將u∈E的纖維線性滿映射到π(u)∈B的纖維上，則π_*誘導出滿態射h:TE→π*TB，則kerh=kerπ_*為𝓥ξ=π_𝓥:𝓥E→E的全空間𝓥E，且TE≅𝓥E⨁π*TB，其中𝓥ξ為π的垂直叢。

𝓥ξ等價於π*ξ。 ^[3] 

設F:M→N為光滑映射，則切映射dF:τM→τN為光滑映射，且在纖維τ_pM上的限制為切空間之間的映射dF_p。

若F為光滑映射，則dF亦然。

若F為微分同胚，則dF亦然。 ^[2] 

切函子為光滑流形範疇Diff的自函子，將M打到切叢τM，將光滑映射F打到切映射dF。 ^[2] 

利用切叢和餘切叢，可以得到(p,q)型張量。由此可以引入聯絡的概念，人們就可以像計算函數導數那樣去描述切向量的變化。

很多幾何概念都可以通過切叢和餘切叢來定義。比如黎曼度量的概念也可以從切叢的局部化上定義，進而得到大範圍上的度量。近復結構也可以利用切叢來定義。

向量叢是一個幾何構造，對於拓撲空間(或流形,或代數簇)的每一點用互相兼容的方式附上一個向量空間，所用這些向量空間"粘起來"就構成了一個新的拓撲空間(或流形，或代數簇)。

一個典型的例子是流形的切叢：對流形的每一點附上流形在該點的切空間。或者考慮一個平面上的光滑曲線，然後在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線；這就是曲線的"法叢"。 ^[1]