切向量場

切向量場即切叢的截片。

設 M 為巴拿赫微分流形，

為其切叢，若 C^r 映射

滿足條件

，其中 id 為 M 上的恆同映射，則稱 ξ 為 M 上的一個 C^r 切向量場，切向量場也常簡稱向量場。 ^[1] 

地球是一個流形 M ， 在1月1日12:00，我們把地球上的每一點處的風向記下來，畫成一張全球風向圖。 一點處的風向就是切向量， 這張風向圖就是切向量場。

一個著名的定理就是説，地球上任何時刻的風向圖中， 必有一處的風速為零（就是沒有風）。

這説明微分幾何與拓撲學有着密切的關係。 上述定理實際上是著名的DeRham上同調的推論。

切叢是微分流形M上的一種特殊的向量叢，一般記為T(M),它的秩就等於流形M的維數的兩倍。切叢的截面就是我們説的切向量場。

幾何直觀上説， 切叢就是流形上每一點處的切空間“粘合”在一起得到的新流形--即向量叢。 這是流形自帶的一個向量叢，它反映了該流形的大範圍性質和局部性質的聯繫。

利用切叢和餘切從，我們可以得到(p,q)型張量。由此可以引入聯絡的概念，人們就可以像計算函數導數那樣去描述切向量的變化。

很多幾何概念都可以通過切叢和餘切叢來定義。比如黎曼度量的概念也可以從切叢的局部化上定義，進而得到大範圍上的度量。近復結構也可以利用切叢來定義。