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切向量
鎖定
曲線在一點處的切向量可以理解為沿曲線該點處切線方向的向量。
- 中文名
- 切向量
- 外文名
- tangent vector
- 所屬學科
- 微分幾何
切向量定義
切向量導子定義
切向量光滑曲線定義
切向量性質
由導子定義有,對於p∈M,則p點的切向量v:𝓕p(M)→ℝ滿足
(1)線性:v(αf+βg)=αv(f)+βv(g);
(2)導子:v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f),
切向量切空間
切向量映射的微分
設F:N→M為光滑映射,對p∈N,則映射F誘導出切空間的映射F*:TpN→TF(p)M,稱為映射於p的微分,定義為
切向量知識儲備
定義1 設A是
的一個開子集(即A內每點都可找到一個完全屬於A的鄰域),
是一個函數。f點z
的值記為
。如果f對
的任意階偏導數存在且連續,則稱函數f是
類函數(function of class
),簡稱f是一個
函數或稱f是一個光滑函數(smooth function)。如果函數f是
的,且對任意指定點
,存在
的一個鄰域U,使對所有
,f在
的Taylor級數展開式都收斂到
,則稱f是一個
函數或稱f 是一個解析函數( analytic function)。
切向量相關概念介紹
(1)流形(manifold)是拓撲學和微分幾何中的重要概念。不過,為不涉及過多的數學基礎,此處不準備作嚴格的定義。從概念上説,一個n維流形可理解為由多個同為n維的曲面(或超曲面)經拼接所得到的曲面(或超曲面)。
(2)流形的一個特徵是,它的一個局域可以與一個n維歐氏空間之間建立起點與點間的一對一映射關係,它的每個局域可以分別與各自的一個n維歐氏空間之間建立起點與點間的一對一映射關係,並可在此基礎上建立起通用於各局域的流形局部座標系,從而變成可度量的( metrizable)。
(3)具有微分結構的流形被稱為微分流形(differential manifold)。這裏所説的微分結構,是指參與拼接的曲面(或超曲面)彼此拼接得是如此之好,以至於流形作為一整體與n維歐氏空間之間的映射能達到任意次可微的程度,即達到光滑的程度。因此微分流形也稱為光滑流形(smooth manifold)或簡稱流形。微分流形可理解為是由多個同為n維的光滑曲面(或超曲面)經拼接所得到的光滑曲面(或超曲面),也就是有任意階導數的n維曲面(或超曲面)。
(4)定義在流形N上的光滑函數
就是定義在流形N的局部座標系上的函數。對於一個光滑流形而言,其各階導數都存在。
切向量例題解析
式中,
是表示方向的係數。方向可以是給定的方向,也可以是某個體現函數
自身性質的方向。
比如,
在點x的梯度(gradient)被定義為向量
如果把式
改寫成
注:其中
中的三部分分別為切向量的基底、方向向量、光滑函數,這三部分組成一個切向量;
為方向導數。
可見方向導數可拆成三部分。方向導數的前面兩部分,即切向量的基底和方向向量合稱為切向量。此切向量完全符合切向量定義。