協變導數

向量u的沿着向量v的共變導數(也寫作D)是一個定義第三個稱為

(也作D_vu)的向量的規則，它有如下面所述的導數的屬性。向量是一個幾何對象，和所選基(座標系統)無關。固定一個座標系之後，這個導數和向量基自身的變換規則相同(共變變換)，所以有這個名字。

在歐幾里得空間的情形，如果有一個標準正交座標系，一般會用兩個相近的點的兩個向量的差來定義向量場的導數。

在這樣的系統中，平移其中一個向量到另一個的原點，保持和原來的向量平行。這樣得到的歐氏空間的共變導數可以取每個分量的導數。

但是在一般情況，我們必須把座標系的變化考慮在內。在彎曲空間中，例如地球表面（作為一個球面），平移沒有嚴謹的定義，而和它相似的概念，平行移動，依賴於向量被平移的路徑。例如，在二維歐幾里得平面極座標中，導數包含了額外的項用於表述座標格點自身如何“轉動”。在其他的情況下，還有額外的項描述座標格點如何擴張，收縮，扭轉，交織，等等。

一個例子是二維歐氏空間極座標中的曲線。在曲線參數t的向量(比如説加速度，不在圖中)可以表達在座標系

中，其中

和

是極座標中的單位切向量，用作把一個向量分解為在輻向和切向分量的基底。稍後，極座標的新基底會相對於第一套基底稍有轉動。基向量的共變導數（克里斯托費爾符號可以表達這個變化）。

另一個例子：向量e在球上位於赤道上的一點Q，方向朝北。假設我們首先沿着赤道平行移動該向量直到P（然後保持它和自己平行））着子午線把它拖到北極N然後（保持方向）繼續沿着另一條子午線移動它回到Q。然後我們注意到沿着封閉迴路平行移動的向量不會回到原來的向量;它會變成另外一個方向。這在歐氏空間不會發生，它發生的原因是球的曲面上的曲率。如果我們沿着無窮小閉曲面依次沿着兩個不同方向然後返回，我們會看到同樣的現象。向量的無窮小變化是曲率的一個測量。

定義中的向量u和v是定義在同一點p的。而且共變導數

也是p的一個向量。

共變導數的定義不用空間的度量。但是，一個給定的度量唯一的確定了一個特殊的共變導數，稱為列維-奇維塔聯絡。

導數的性質暗示者

依賴於p周圍的情況，就像標量函數在一點p沿着曲線的導數依賴於p點周圍一樣。

共變導數在一個固定的座標圖中，可以用張量描述，但是它不是一個張量，因為它不是在座標變換下不變的。

在共變導數中關於點p圍的信息可以用來定義向量的平行移動。而且曲率，撓率和測地線也可以只用共變導數來定義。

偶爾，術語“共變導數”指一個一般向量叢沿着基空間的一個切向量的截面的導數；參看“聯絡形式”中的“向量叢”的有關章節。 ^[1] 

給定座標函數

，任何切向量都可以用它的在基

中的分量表示。 共變導數是一個向量，所以可以表示為基向量的線性組合Γe_k，其中Γ是分量（參看愛因斯坦記號）。 要給定共變導數，給定每個基向量場e_j沿着e_i的共變導數就可以了

係數Γ_{i j}稱為克里斯托費爾符號。 然後使用定義中的規則，我們發現對於一般的向量場

可以得到

這個公式的第一項代表了座標系對於共變導數的"扭轉"，而第二項代表了向量場u的分量的變化。特別的有

用語言描述的話：共變導數是一般的沿着座標的導數加上關於座標改變的校正項。在物理教科書中，共變導數有時只用這個方程中的分量形式表述。

一個常用的記法是，用一個分號表示共變導數，而用一個逗號表示普通導數。在這個記號下，我們把同樣的公式寫作：

這再次表明了向量場的共變導數不僅僅是從沿着座標的微分中得到

，而且是通過

依賴於向量v本身的。 ^[2]