向量場

光滑流形M上的向量場X為代數C^∞(M)的導子。 ^[2] 

設M為光滑流形，U為M的開集，則M上的向量場X為切叢π:TM→M的一個截面，即光滑映射X:U→TM，滿足π∘X=1_U。 ^[3-4] 

設U上向量場的集為𝖃U，則𝖃U為實向量空間，且為𝓕U上的模。 ^[4] 

形成場的量為向量，稱該場為向量場。

在一定的單位制下，用一個實數就足以表示的物理量是標量，如時間、質量、温度等；在這裏，實數表示的是這些物理量的大小。和標量不同，矢量是除了要指明其大小還要指明其方向的物理量，如速度、力、電場強度等；矢量的嚴格定義是建立在座標系的旋轉變換基礎上的。常見的矢量場包括Maxwell場、重矢量場。

建立座標系(x,y,z)。空間中每一點(x₀,y₀,z₀)都可以用由原點指向該點的向量表示。因此，如果空間在所有點對應一個唯一的向量(a,b,c)，那麼時空中存在向量場F：(x₀,y₀,z₀)→(a,b,c)。 ^[1] 

選用三維球座標。如果質點位於座標原點(0,0,0)，則牛頓引力場是一個向量場：F：(r,φ,θ)→(

,φ,θ)

物理中，最常用的向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。

在空間某一區域內，除個別點外，如果對於該區域的每一點 P 都定義了一個確定的量 f(P) ，該區域就稱為量f(P) 的場。用數學方法研究場的結構及其性質稱為場論。

[scalar field]

形成場的量僅為數量，稱該場為標量場。