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運動方程

鎖定
運動方程是描述結構中力與位移(包括速度和加速度)關係的數學表達式。其建立方法主要有5種,包括牛頓第二定律、D’Alembert 原理、虛位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程。
中文名
運動方程
外文名
equation of motion
定    義
描述力與位移(或速度加速度)關係

目錄

運動方程定義

運動方程是描述結構中力與位移(包括速度和加速度)關係的數學表達式。
質點體系的運動方程:
多自由度體系的運動方程:

運動方程建立方法

圖1 圖1
運動方程建立主要由以下五種方法,以 圖1的單質點體系運動為例。
牛頓第二定律
根據單質點體系的受力分析可以直接寫出該單質點體系的運動方程:
牛頓第二定律的優點:
牛頓第二定律是基於物理學中已有知識的直接應用,以人們最容易接受的力學知識建立體系的運動方程。
D’Alembert原理(直接動力平衡法)
在體系運動的任一瞬時,如果除了實際作用結構的主動力(包括阻尼力)和約束反力外,再加上(假想的)慣性力,則在該時刻體系將處於假想的平衡狀態(動力平衡)。
其中,
D’Alembert原理的優點:
靜力問題是人們所熟悉的,有了D’Alembert 原理之後,形式上動力問題就變成了靜力問題,靜力問題中用來建立控制方程的方法,都可以用於建立動力問題的平衡方程,使對動力問題的思考有一定的簡化。對很多問題,D’Alembert原理是用於建立運動方程的最直接、最簡便的方法,建立了動力平衡(簡稱:動平衡)的概念。
虛位移原理
虛位移原理:在一組外力作用下的平衡系統發生一個虛位移時,外力在虛位移上所做的虛功總和恆等於零。
虛位移是指滿足體系約束條件的無限小位移。設體系發生一個虛位移du,則平衡力系在du上做的總虛功為:
其中,
虛位移原理的優點:
虛位移原理是建立在對虛功分析的基礎之上,而虛功是一個標量,可以按代數方式運算,因而比Newton第二定律,或D’Alembert原理中需要採用的矢量運算更簡便。
Hamilton原理
可以應用變分法(原理)建立結構體系的運動方程。在數學上,變分問題就是求泛函的極值問題。在這裏,泛函就是結構體系中的能量(功)。
體系的平衡位置是體系的穩定位置,在穩定位置,體系的能量取得極值,一般是極小值。
Hamilton原理:在任意時間區段[t1, t2]內,體系的動能和位能的變分加上非保守力做功的變分等於0。
其中:
——體系的總動能;
—— 體系的位能,包括應變能及任何保守力的勢能;
——作用於體系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷載)所做的功;
——在指定時間段內所取的變分。
Hamilton原理的優點:
不明顯使用慣性力和彈性力,而分別用對動能和位能的變分代替。因而對這兩項來講,僅涉及處理純的標量,即能量。而在虛位移中,儘管虛功本身是標量,但用來計算虛功的力和虛位移則都是矢量。
Lagrange方程
Hamilton原理是一種積分形式的動力問題的變分方法,實際還有另外與之等價的微分形式的動力問題的變分原理,就是運動的Lagrange方程,其表達式如下:
其中:
—— 體系的動能;
—— 體系的位能,包括應變能及任何保守力的勢能;
——與
相應的非保守力(包括阻尼力及任意外荷載)。
Lagrange方程的優點:
得到更多的應用,它和Hamilton原理一樣,除非保守力(阻尼力)外,是一個完全的標量分析方法,不必直接分析慣性力和保守力(主要是彈性恢復力),而慣性力和彈性恢復力是建立運動方程時最為困難的處理對象。 [1] 
參考資料
  • 1.    謝傳鋒,王琪,程耀 .理論力學:高等教育出版社,2015