實向量空間

向量空間的基本模型是n維行向量或列向量的空間：

ℝⁿ：行向量

的集合，或列向量

的集合。

雖然行向量寫起來佔的空間較少，但矩陣乘法的定義使得列向量對我們更方便。因而多數情況下使用列向量，為了節省空間，我們有時把列向量寫成

的形式。

向量加法：

標量乘法:

這些運算使

成為一個向量空間。 ^[2] 

一個實向量空間是具有兩個合成法則的集合

（所有

及所有

）： ^[2] 

(a)向量加法:

；

(b)標量乘法：

；

並且這兩個合成法則必須滿足下列公理：

(i)加法使V成為阿貝爾羣

；

(ii)標量乘法與實數乘法是結合的：

(iii)用實數1作標量乘法是恆等作用：

(iv)兩個分配律成立：

當然，所有公理都應加上全稱量詞，即假設它們對所有

及所有

。

中加法的單位元記作0，或者，為了不混淆零向量和數0，記作

。

注意，標量乘法將由實數c和向量

組成的每對元素對應另一向量

，這樣的法則稱為向量空間的外部合成法則。

兩個向量的乘法不是結構的一部分，雖然可以定義不同的積，如

中向量的叉積，這些積不完全是內在的，它們依賴於座標的選擇，因此將它們看成向量空間上的額外結構。

仔細看一下公理(ii)．左邊是指先把a和b作為實數相乘，然後用ab和v作標量乘法而得到的向量，右邊兩個運算都是標量乘法。

兩個合成法則由基本的分配律聯繫起來．注意，在第一個分配律中左邊的符號+代表實數加法，而在右邊則代表向量加法。 ^[2] 

在一個向量空間V中，下列等式成立(零向量記作

)：

(a)對所有

(b)對所有

(c)對所有

.

證明 為證(a)，用分配律寫出

兩邊消去

得到

。請仔細看一下，注意哪個0是數，哪個0是向量。

類似地，

。於是

。最後

因而，

是

的加法逆。 ^[2] 

例1

的子空間是一個這樣的向量空間，即它的合成法則由

上的合成法則導出。

例2 設

是複數集．忘掉複數乘法，只保持加法

以及複數

和實數

的乘法

，這使得

成為實向量空間。

例3 實多項式

的集合是向量空間，其合成法則為多項式的加法以及標量和多項式的乘法。

例4 設V是區間[0，1]上實值連續函數的集合，只看函數加法

以及數與函數的乘法

兩個運算，這使得V成為實向量空間。

注意，這些例子都有比我們將其視為向量空間更多的結構，這些是很典型的例子，每一個例子一定有不同於其他例子的特性，這並不是定義的缺陷，恰好相反，抽象方法的威力就在於一般公理的結論可用於許多不同的實例。 ^[2]