一般線性羣

如果V是在域F上的向量空間，V的一般線性羣，寫為GL(V)或Aut(V)，是V的所有自同構的羣，就是説所有自同構V→V的集合，和與之一起的函數複合作為羣運算。如果V有有限維n，則GL(V)和GL(n,F)是同構的。這個同構不是規範的；它依賴於在V中基的選擇。給定V的一組基 (e₁, ...,e_n)和GL(V)中自同構T，則

對於某些F中的常量a_jk；對應於T的矩陣就是由a_jk作為元素的矩陣。

以類似的方式，對於交換環R羣GL(n,R)可以被解釋為n秩的自由R模的自同構的羣。還可以對任何模定義GL(M)，但是這一般不同構於GL(n,R)（對於任何n）。 ^[1] 

一般線性羣亦稱全線性羣。一類重要的典型羣。

若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個羣，稱為V上的一般線性羣，記為GL(V)。

體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個羣，稱為K上n次一般線性羣，記為GL_n(K)或GL(n，K)。

取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GL_n(K)，從而得到GL(V)到GL_n(K)上的一個同構。在這個意義下，可以將GL(V)與GL_n(K)等同起來。

一般線性羣GL(n,

)以行列式為

上的連續函數，則GL(n,

)作為

的開集，是一個微分流形。 ^[6] 

設M₂為域k上多項式代數k[a,b,c,d]，M₂(A)為矩陣元取值於代數A的2×2矩陣代數

故M(2)為2×2矩陣簇的座標k代數。

定義GL₂(A)為M₂(A)中可逆矩陣的集合。若A為交換代數，則矩陣可逆當且僅當其行列式在A中可逆：

定義交換代數GL(2)=M(2)[t]/((ad-bc)t-1)

GL(2)上可定義餘單位ε

餘乘法Δ

以及對極映射S

故GL(2)為交換霍普夫代數。 ^[5] 

設q²≠-1，考慮x,y滿足量子平面關係xy=qyx，且a,b,c,d與x,y交換

定義x',y',x'',y''，滿足

，

則若x'與y'，以及x''與y''，均滿足量子平面關係，可生成關係

ba=qab,db=qbd,ca=qac,dc=qcd,bc=cb,ad-da=(q^-1-q)bc，

則M_q(2)為自由代數k{a,b,c,d}對上述關係生成的雙邊理想的商代數。

當q=1，M_q(2)同構於M(2)。

量子行列式為det_q=ad-q^-1bc=da-qbc。

則量子一般線性羣定義為GL_q(2)=M_q(2)[t]/(tdet_q-1)。 ^[5] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

典型羣是一類重要的羣。一般線性羣、酉羣、辛羣、正交羣，以及它們的換位子羣、對中心的商羣等統稱為典型羣。實數域和複數域上的典型羣是李羣的重要例子，它們的構造及表示在李羣理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型羣的構造的研究得到了一大批有限單羣.這是繼交錯羣之後人們發現的又一批重要的有限單羣系列。經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單羣的系列後，為有限單羣分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型羣的構造也得到了大量的單羣。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型羣的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。 ^[2] 

酉羣是一類重要的典型羣。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次酉羣，記為U(n)。一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裏H∈GL_n(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子羣，稱為關於f的酉羣，記為U_n(K，f)。從矩陣的觀點看，U_n(K，f)={A∈GL_n(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U_n(K，f)就是辛羣Sp_n(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U_n(K，f)就是正交羣O_n(K，f);當K是複數域，J是複共軛，H=I時，酉羣U_n(K，f)就是酉羣U(n)。 ^[3] 

辛羣是一類重要的羣。辛空間的自同構羣。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構.(V，ω)的自同構全體構成羣GL(V)的一個子羣，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構羣記為Sp(2n，K)。若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛羣。

正交羣是一類重要的典型羣。在實數域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次正交羣，記為O(n)。一般地，設V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立，則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個羣，稱為關於Q的正交羣，記為O_n(K，Q).當K的特徵≠2時，V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交羣：

其中Q(x)=f(x，x)/2.當K是實數域，Q是單位二次型Q(x)=x·x時的正交羣O_n(K，Q)就是O(n)。 ^[4]