辛空間

線性空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域.若：

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。 ^[2] 

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域。當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合M_mn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M_mn(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a₁，a₂，…，a_n)構成的集合P對於加法：(a₁，a₂，…，a_n)+(b₁，b₂，…，b_n)=(a₁+b₁，a₂+b₂，…，a_n+b_n)與純量乘法：λ(a₁，a₂，…，a_n)=(λa₁，λa₂，…，λa_n)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。

線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數學中的n元向量、矩陣、多項式，分析學中的函數等)的本質屬性後抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦範線性空間、模等都與線性空間有着密切的關係。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，並開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脱離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。

辛空間(symplectic linear space)是一種特殊的複線性空間。指帶非退化反對稱雙線性函數的有限維複線性空間。設V是複數域C上的n維線性空間，若在V上定義了一個非退化反對稱雙線性函數，則稱V為辛空間。在2n維辛空間內存在這樣的基底ε₁，ε₂，…，ε_2n，關於它的格拉姆矩陣為： ^[3] 

其中：

。

2n維辛空間的每一線性變換σ，都存在它的共軛變換σ。若以A，B分別表示σ與σ關於給定基的矩陣，則B=GA′G，其中G是關於給定基的格拉姆矩陣，A′是A的轉置矩陣。2n維辛空間的線性變換σ是對稱(反對稱)的充分必要條件是σ關於基α₁，α₂，…，α_n的矩陣A與A的轉置矩陣A′有關係A′G=GA，其中G是關於基α₁，α₂，…，α_n的格拉姆矩陣。

一類重要的羣。是辛空間的自同構羣。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構。(V，ω)的自同構全體構成羣GL(V)的一個子羣，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構羣記為Sp(2n，K).若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛羣。 ^[4] 

若V是域K上2m維列向量空間，f是V的非退化的交錯雙線性型，則使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立的線性變換A∈GL(V)稱為關於f的辛變換。關於f的全體辛變換在映射乘法下構成的羣稱為辛羣，記為Sp_2m(K，f).由不同的f決定的辛羣Sp_2m(f，K)相互同構。因此，不妨取： ^[5] 

並將相應的辛羣記為Sp_2m(K)，這裏：

從矩陣觀點來看，

辛變換的行列式都是1，辛羣的中心為{±I}。