霍普夫代數

所謂霍普夫代數，是指一個域上的雙代數，配上一個線性映射

（稱為對極映射），使得下述圖一表交換。

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為

對極映射可理解為

對卷積之逆，故其若存在必唯一。當

，則稱

為對合的；交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義，有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

羣代數. 設

為羣，可賦予羣代數下述霍普夫代數結構：

有限羣上的函數. 設

為有限羣，置

為所有

的函數，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構

。定義：

仿射代數概形的座標環：處理方式同上。

泛包絡代數. 假設

是域

上的李代數，置

為其泛包絡代數，定義：

後兩條規則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個

上。 ^[1] 

李羣的上同調代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的上積給出，餘代數結構則來自羣乘法

，由此導出

對極映射來自

。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫藉着研究這種結構，得以證明李羣上同調的結構定理：

定理（霍普夫，1941年）.

設

為

上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數，則

（視為

-代數）同構於由奇數次元素生成的自由外代數。

主條目：量子羣

上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面，泛包絡代數的某些“變形”或“量子化”可給出非交換亦非餘交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為量子羣，儘管嚴格而言它們並不是羣。這類代數在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數羣可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類“量子化”了的代數羣（實則非羣）。 ^[2]