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泛包絡代數

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在數學中，我們可以構造任意李代數 的泛包絡代數 。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李羣上的左不變微分算子。
中文名
泛包絡代數
外文名
universal enveloping algebra
所屬學科
李代數

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 範疇論性質
  3. 3 泛性質
  1. 4 構造方式
  2. 5 基本性質
  3. 6 龐加萊-伯克霍夫-維特定理
  1. 7 表示理論

泛包絡代數定義

給定域K上代數
，則
的泛包絡代數
為張量代數
對理想I的商代數，其中理想I由下式生成 [4] 

泛包絡代數範疇論性質

泛包絡代數函子U為李代數函子L的左伴隨函子。 [4] 

泛包絡代數泛性質

以下固定域
。首先注意到：對任意帶乘法單位元的
-結合代數
，定義括積
，可視
為李代數。
泛包絡代數係指帶單位元的結合代數
及一個指定的李代數同態
。這對資料由下述泛性質刻劃：
對任意帶乘法單位元的
-結合代數
， 若存在李代數同態
則存在唯一的代數同態
使之滿足
換言之，函子
滿足下述關係：
藉此，可視
為
（單位結合代數）
（李代數）的左伴隨函子。

泛包絡代數構造方式

首先考慮張量代數
，此時有自然的包含映射
。取
為下列元素生成的雙邊理想
定義
所求的映射
為
與商映射的合成。容易驗證
保存李括積。
根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質 [1]  。

泛包絡代數基本性質

若
可交換，則
亦然；此時
同構於多項式代數。
若
來自李羣
，則
可理解為
上的左不變微分算子。
的中心
顯然包含
，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李羣上的拉普拉斯算子。

泛包絡代數龐加萊-伯克霍夫-維特定理

主條目：龐加萊-伯克霍夫-維特定理(Poincaré-Birkoff-Witt [5]  )
龐加萊-伯克霍夫-維特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數
的基
，此定理斷言
是
的基。此定理的直接推論是：
為單射 [2]  ，並且該內射可擴張為一個分次向量空間之間的同構：
[5]  。

泛包絡代數表示理論

在泛性質中取
，其中
為任意向量空間，遂可等同
的表示與
的表示，後者不外是
模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。
羣代數之於羣表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構 [3]  。
參考資料
  • 1.    朱卉. n次微分分次Poisson代數的泛包絡代數及其應用[D].浙江師範大學,2016.
  • 2.    穆強,白薇,劉文德. 李超代數的泛包絡代數同構問題[J]. 數學的實踐與認識,2009,(13):204-210.
  • 3.    Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6
  • 4.    P. J. Hilton, U. Stammbach．同調代數教程（第2版）：Springer，1997
  • 5.    Yves Félix ,Stephen Halperin ,Jean-Claude Thomas．有理同倫論：世界圖書出版公司，2013：286