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李代數
(挪威數學家索菲斯·李發現的非結合代數)
鎖定
李代數簡介
嘉當(1張)
李代數抽象定義
設F是特徵為0的域,L是F上的線性空間。如果L上有一個運算L×L→L,(x,y)→[x,y]滿足以下三個條件,則稱L是一個李代數。
[3]
(1)這個運算是雙線性的,即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。
(2)[x,x]=0,對任意x∈L。
(3)雅可比恆等式:[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0,對所有L中元素x,y,z∈L。
首兩個條件藴含反對稱性[x,y]=-[y,x]。
李代數李羣的李代數
李代數相關概念
李代數g作為F上向量空間,它的維數稱為李代數g的維數。
設g是域F上一個向量空間,在g中定義換位運算:對於X,Y∈g,令【X,Y】=0,則g作成一個李代數,稱為交換(或阿貝爾)李代數。
令g是域F上一個李代數,α、b是g的子空間。記[α,b]={Σ【A,B】(有限和)│A∈α,B∈b },則[α, b]是g的一個子空間。設
是
的一個子空間。如果
,那麼就稱
是
的一個子代數;如果
,那麼
就稱為
的一個理想。由於[α,g]=[g,α],因此李代數的理想都是雙邊理想。如果α是g的一個理想,在商空間g/α裏,定義[X+α,Y+α]=[X,Y]+α,那麼g/α作成F上一個李代數,稱為g模α的商代數。
設g1、g2是域F上李代數。ƒ:g1→g2是一個線性映射。如果對於X、Y∈g,ƒ(【X,Y】)=【ƒ(X), ƒ(Y)】,那麼ƒ就稱為一個代數同態。如果ƒ還是一個雙射,那麼就稱ƒ是一個代數同構,這時g1與g2就稱為同構的,記作g1≌g2。設ƒ:g1→g2是一個同態,則 Im ƒ=ƒ(g1)是g2的一個子代數,而Kerƒ=ƒ-1(0)是g1的一個理想,並且ƒ導出一個同構g1/Ker ƒ≌Im ƒ。
設g是域F上一個李代數,α、b是g的理想,那麼【α,b】仍是g的一個理想,特別,g(1)=【g,g】, g(2)=【g(1),g(1)】,…,gn+1=【g(n), g(n)】,…都是g的理想。於是有g叾g(1)叾g(2)叾…,稱為g的導出列。g(1)稱為g的導出代數。如果存在一個正整數n,使得g(n)={0},那麼就説g是可解李代數。
李代數的導出代數為其理想。
李代數的中心為其理想。
李代數的包含導出代數的子空間為其理想。
再定義g1=g,g2=【g,g1】,…,gn+1=【g,gn】,…,又可得到g的一個理想序列g1叾g2叾…,稱為g的下中心序列。如果存在一個正整數n,使得gn={0},那麼就説g是冪零李代數。因為g(i)嶅gi,所以冪零李代數一定是可解李代數。
域F上一個李代數g是所謂單李代數,即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一個有限維李代數g是所謂半單李代數,即指g不含非零可解理想。每一個有限維李代數g都含有惟一的最大可解理想r,就是這樣一個理想, 它包含g的一切可解理想,稱為g的根基。g是半單的當且僅當它的根基 r={0}。除一維李代數外,有限維單李代數都是半單的。特徵為0的域上每一個半單李代數都是一些單李代數的直和。
李代數表示
令g是域F上一個李代數,V 是F上一個線性空間。李代數的一個同態ρ: g→g{(V),稱為g在V上的一個線性表示,簡稱表示。用(ρ,V)代表g在V上的表示ρ,V稱為ρ的表示空間。當dimV=n時,取定V的一個基,將g{(V)與g{(n,F)看成一樣,於是就得到一個代數同態ρ: g→g{(n,F),仍記作ρ,稱為g的一個矩陣表示。如果g的一個表示ρ是單射,那麼就稱(ρ,V)是一個忠實表示。有阿多-巖沢定理:域F上每一個有限維李代數都有一個忠實表示。
設(ρ,V)是李代數
的一個表示。V的一個子空間W稱為ρ(
)不變子空間,即指W在一切ρ(X)(X∈
)之下不變。李代數g的一個表示(ρ,V)稱為不可約表示,是指除{0}和V本身外,V沒有其他ρ(
)不變子空間。所謂(ρ,V)是完全可約的,意即V是一些ρ(
)不變的子空間的直和,並且ρ在每一個這樣的子空間上的限制都是不可約的。有外爾定理:特徵為 0的域上半單李代數的每一(有限維)表示都是完全可約的。
設X∈李代數
。對於每一Y∈
,定義ad X(Y)=[X,Y],則ad X是
的一個導子,並且ad:X→ad X(X∈
)是
到End(
)的同態。因此,(ad,
)是
的一個表示,其表示空間就是
本身,稱為
的伴隨表示。則
為阿貝爾李代數,當且僅當對
中所有X,ad X=0。伴隨表示的核稱為
的中心。
[7]
設(ρ,V)是g的一個有限維表示。定義一個對稱雙線性型 k:g×g→F;對於X、Y ∈g, 定義k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的跡)。特別,當g是有限維的而ρ是伴隨表示ad時, k稱為g的基靈型。基靈型在研究李代數的結構中起重要的作用。例如有嘉當判定準則:特徵為0的域上一個(有限維)李代數是半單的,必要而且只要g的基靈型非退化。
李代數相關定理
李代數恩格爾定理
令V是域F上一個n(大於零)維向量空間,g是g{(V)的一個子代數。如果g的元素都是V的冪零線性變換, 那麼存在V的一個非零向量v,使得對於每一個X∈g都有X·v=0,因此,適當選取V的基,並且將g{(V)與g{(n,F)看成一樣的,就有g嶅n(n,F)。
李代數李定理
令F是一個特徵為0的代數閉域,V是F上一個n(大於零)維向量空間,g是g{(V)的一個可解子代數,則存在V 的一個非零向量v,使得對於每一X ∈g都有Xv=φ(X)v,φ(X)∈F。因此適當選取V的基可以使得g嶅t(n,F)。
[4]
李代數例子
李代數具體例子
- 設V是域
- 設V是域F上的l+1維線性空間,則V上跡為0的線性變換構成一個線性空間,記為sl(V)。定義[x,y]=xy-yx,這裏x,y是sl(V)中元素,xy和yx都是線性變換的複合,則sl(V)關於這個運算構成李代數。這個李代數稱為特殊線性代數(special linear algebra)。
李代數抽象例子
1. L的中心Z(L)={z∈L | [x,z]=0, 對所有 x∈L}是一個李代數。
2. 集合[L,L]稱為導出代數,是由所有[x,y]線性組合構成的集合。它是一個李代數。
李代數其他
在R^3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是實數域,i=1, 2,3}中, 設:
則R3作成R上一個李代數。
令V 是域F上一個向量空間。可知V的一切線性變換作成F上一個向量空間,設ƒ、g是V的線性變換,令ƒg表示ƒ與g的合成,並定義【ƒ,g】=ƒg-gƒ,直接驗證可知,V的全體線性變換所組成的向量空間,對於這樣定義的換位運算,作成F上一個李代數。這個李代數稱為全線性李代數,記作g{(V)。
類似地,域F上全體n×n矩陣所組成的向量空間,對於換位運算【A,B】=AB-BA(A、B是n×n矩陣),作成F上一個李代數,並稱之為F上全陣李代數,記作g{(n,F)。
更一般地,設U是域F上一個結合代數。對於α、b∈U定義【α,b】=αb-bα,則U作成F上一個李代數。
設V是域F上一個n維向量空間。通過取定V的一個基,可以在全線性李代數g{(V)與全陣李代數 g{(n, F)之間建立同構,因而常把這兩個李代數看成是一樣的。g{(n,F)(或g{(V))的子代數稱為線性李代數。
一些重要的線性李代數如下: t(n,F)={(αij)|(αij)∈g{(n,F),αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩陣所組成的集合。 n(n,F)={(αij)|(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n},即主對角線上元素都是0的 n×n上三角形矩陣所組成的集合。
容易驗證,t(n,F)和n(n,F)都是g{(n,F)的子代數。
域F上一切跡是0(即主對角線上元素的和等於0)的n×n 矩陣,作成g{(n,F)的一個理想,記作s{(n,F)。當F是複數域,而n=l+1(l≥1)時,這個李代數通常記作Al,稱為特殊線性李代數。
取定域F上一個n×n對稱或反對稱矩陣M。 令g={X∈g{(n,F)| tXM+MX =0}(X表示X的轉置), 則g是g{(n,F)的子代數。現設F是複數域,M是一個非退化對稱矩陣,於是M與以下兩個矩陣之一合同:
當n=2l+1時,有:
當n=2l時,有:
在前一情形,與之相當的g記作Bl;在後一情形,記作Dl。這兩類李代數都稱為正交代數。如果M是一個非退化反對稱矩陣,那麼n一定是偶數:n=2l,因此M與
合同。與此相當的李代數g稱為辛代數,記作Cl。
- 參考資料
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- 1. 《數學辭海》委員會. 數學辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
- 2. 史小東,劉洪,丁仁偉,王之洋. 基於李代數積分的薄層多重散射消除技術[J]. 地球物理學報,2013,56(07):2437-2446. [2017-09-06].
- 3. 李小雨. 可遞李代數胚分類空間的研究[D].哈爾濱工業大學,2015.
- 4. 趙東暖. 李代數的n重導子[D].東南大學,2015.
- 5. 宣宜然. 一類無限維李代數的研究[D].蘇州科技學院,2014.
- 6. Theodor Brocker, Tammo tom Dieck.緊李羣的表示:Springer,1991
- 7. V. S. Varadarajan.李羣,李代數及其表示:Springer,1984
- 8. 安東尼·亨德森.李代數的表示——通過gln進行介紹:劍橋大學出版社,2012