表示論

在20世紀後半葉，羣論的主要工作與羣表示論(representationtheory)有關．它起源於19世紀在不變量和共變量方面的積累．粗略地説，不變量是平凡表示，共變量就是某個非平凡表示的元素．這些概念的意義是如果我們希望用座標的形式寫出等式和關係，那麼我們期望座標改變時等式描述的幾何特徵或機構沒有變化．實現此目標的最簡單方法是確認表達式是不變量之間的等式，但是我們也能使用共變量之間的關係，條件是所比較的共變量是相應於同一表示的．只要想研究某種新對象，或許是直線、橢球或者慣性矩陣，就要問在座標變換下新對象是怎樣變化的，以及這個對象是屬於什麼表示的 ^[2]  ． ’

表示論是數學中研究表示的理論。對於一個數學體系A，從A到同類的(一般是“更具體的”)一個數學體系的保持結構的映射，稱為A的一個表示。其中主要有羣的置換表示、羣和結合代數的線性表示、有限羣的線性表示、酉表示等等 ^[3]  。

表示論(representation theory)用具體對象“表示”一抽象代數系並保持它的基本結構而對它的性質加以研究的理論．最常用的具體對象是某一集合上的變換，特別是線性空間上的線性變換(這樣的表示稱為線性表示)．以羣的(線性)表示為例：設G為羣，V為域F上的線性空間，GL(V)為V上所有非退化線性變換組成的羣．G到GL(V)的一個同態ρ即稱為G在V上的一個表示．其實質就是用V上的線性變換來“表示”G中的抽象元素．線性變換是具體的，故可以應用線性代數的知識對羣進行研究．若G為n階有限羣，當F為複數域時(更一般，當F的特徵除不盡n時)的表示稱為常表示。當F的特徵除盡n時的表示則稱為模表示。羣表示論由弗羅貝紐斯創立，舒爾(I．Schur，1875～1941)和伯恩賽德(w．Burnside，1852～1927)對此也作出了重要的貢獻。諾特強調對錶示空間的研究，導致模的理論的建立，並由布勞爾(R．Brauer，1901--1977]開創了模表示理論．羣表示論不僅對羣論本身是重要的，它對其它數學學科如函數論、調和分析、泛函分析等也有着巨大的影響．它同時也是理論物理學的重要工具．除線性表示外，還有羣的射影表示，有限羣的置換表示等．其它抽象代數系如環、結合代數、李代數等也各有其相應的表示理論 ^[4]  ．

李羣的表示就是羣的線性作用．我們已經看到了羣SO(3)和SE(3)的一些線性作用，但是這裏希望在機器人學中更加系統地介紹，而且廣泛地應用某些現代表示論的內容．對於表示論的一個很好的導論是Fulton和Harris的著作．首先介紹一些標準的定義 ^[2]  ．

在向量空間V上的李羣G的表示(representation of a Lie group)是光滑映射 、

R：G×V→V，

它滿足某些公理．然而更一般地是將表示看作是對於羣G的每一個元素從V到V的映射的集族．這樣就將羣的元素看作是提供了向量空間的對稱性．若將這些映射寫成Rg=R(g，*)，則第一個公理可表示為

對於所有g，h∈G和所有v∈V，這個映射保持羣的積．對於單位元的映射總應該是向量空間中的恆同映射，即

最後,這個映射對於任意的g∈G、所有的v1,v2∈V和所有的標量a和b應該是線性的。即

所以映射Rg應該是線性的和可逆的．線性來自於上式。而且能使用(R1)式和(R2)式證明映射Rg的逆是

.在向量空間上的這個映射被稱作自同態(endomorphism)．對於有限維的向量空間給定一組基，自同態能被寫成非退化矩陣形式。因此這些表示有時也被稱作矩陣表示．而基的變化不影響這個表示。所以我們認為,兩個矩陣表示如果通過座標變換相聯繫,那麼它們是等價的,而這種座標變換通過相似變換,實現。即

對於所有g∈G和某個非退化矩陣M．

對於每一個羣,至少有一個表示：映射羣的每一個元素到單位矩陣。則上面所有的公理都滿足．但它不是一個非常有價值的表示,被稱作羣的平凡表示(trivial representation)．如果羣的每一個不同的元素都由向量空間不同的對稱性表示。那麼稱這個表示是忠實的(faithful)．若使用另一種方法表達,可以説忠實表示是從羣到向量空間的自同態空間的單射．

表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的操作對應到矩陣運算，如矩陣的合成、加法等等。此法可施於羣、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是羣表示論。

假設 V 有限維，則上述同態即是將 G 的元素映成可逆矩陣，並使得羣運算對應到矩陣乘法。

表示論的妙用在於能將抽象的代數問題轉為線性代數的操作；若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示，並要求一些連續性條件，此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題。

表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開羣，而羣的研究又有賴於其表示，最明顯的例子便是李羣及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。“表示”的概念後來也得到進一步的推廣，例如範疇的表示。