射影表示

設G為一個羣，K為域，n為正整數。把K上n維線性空間V的全線性羣記作GL(V)。G 到GL(V)的映射P稱為G 的具有因子集a的射影表示，如果對所有的g₁，g₂，∈ G，均有

這裏 a 為積集合G × G到乘法羣Kˣ的映射。G的射影表示P稱為不可約的，如果V中沒有非平凡子空間W，使W在一切P(g),g ∈ G下不變。

設GL(V₁)，GL(V₂) 分別是K上線性空間V₁，V₂的全線性羣。P₁和P₂分別是G到GL(V₁)內的，和到GL(V₂) 內的射影表示。説P₁，P₂是等價的，如果有V₁到V₂的同構映射T使對一切 g ∈ G，

成立，這裏c為G到Kˣ的映射。

當K為特徵0的代數封閉域時，有限羣G的不可約射影表示的次數為G的階的因子。 ^[1] 

為了瞭解一個羣的構造，我們常常研究它到某個具體的羣內的同態。我們將這種同態稱為表示。最常見的具體的羣有矩陣羣（即矩陣組成的羣）和置換羣，所以常見的表示就是矩陣表示和置換表示。在矩陣表示的情況下，人們自然地把矩陣當成線性變換來看待，從而可以使用線性代數的豐富成果以得到深入的結論。