矩陣羣

在一個交換環R上n×n矩陣集合M_R(n,n) 在矩陣加法與乘法下自身是一個環。M_R(n,n) 的單位羣稱為在環R上n×n矩陣的一般線性羣，記作GL_n(R) 或GL(n,R)。所有矩陣羣是某個一般線性羣的子羣。

某些特別有趣的矩陣羣是所謂的典型羣。當矩陣羣的係數環是實數，這些羣是典型李羣。當底環是一個有限域，典型羣是李型羣。這些羣在有限單羣分類中起着重要的作用。

任何有限羣同構於某個矩陣羣。這類似於凱萊定理説每個有限羣同構於某個置換羣。因為同構性質是傳遞的，我們只需考慮怎樣從一個置換羣構造一個矩陣羣。

令G是在n點 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置換羣，設 {g₁,...,g_k} 是G的一個生成集合。複數上n×n矩陣的一般線性羣GL_n(C) 自然作用在向量空間C上。設B={b₁,…,b_n} 是C的標準基。對每個g_i令M_i屬於GL_n(C) 是將每個b_j送到b_gi(j)的一個矩陣。這就是如果置換g_i將點j送到k則M_i將基向量b_j送到b_k。 令M是GL_n(C) 中由 {M₁,…,M_k} 生成的子羣。G在 Ω 上的作用恰好與M在B上的作用相同。可以證明將每個g_i送到M_i的函數擴張成一個同構，這樣每個置換羣同構於一個子羣。

注意到域（上面用的是C）是無關的，因為M包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意域可做同樣的構造，因為元素 0 和 1 在每個域中。

舉一例，令G=S₃，3 個點的對稱羣。設g₁= (1,2,3) 和g₂= (1,2)，則

注意到M₁b₁=b₂，M₁b₂=b₃以及M₁b₃=b₁。類似地，M₂b₁=b₂，M₂b₂=b₁以及M₂b₃=b₃。

線性變換與矩陣（一般地説）在數學中已被充分理解，在羣的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個羣到一個矩陣羣的同態與特徵標理論研究從一個羣到由一個表示的跡給出的一個域的同態。