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典型羣
鎖定
在數學中，典型羣（classical group）指與歐幾里得空間的對稱密切相關的四族無窮多李羣。術語“經典”的使用取決於語境，有一定的靈活性。這個用法可能源於赫爾曼·外爾，他的專著 Weyl (1939) 以“典型羣”為題。在菲利克斯·克萊因愛爾蘭根綱領的觀點下，也許反映了它們和“經典”幾何（classical geometry）的關係。
[1]
和典型李羣相對的是例外李羣，具有一樣的抽象性質，但不屬於同一類。
- 中文名
- 典型羣
- 外文名
- classical group
- 相關術語
- 例外李羣
- 所屬領域
- 羣論
- 創始人
- 華羅庚
- 應用學科
- 數學
- 定 義
- 與歐幾里得空間的對稱密切相關的四族無窮多李羣
典型羣相關聯繫
和雙線性形式的關係
典型李羣共同的特點是它們都與某個特定的雙線性或半雙線性形式的等距同構羣密切聯繫。這四類用鄧肯圖標記（下標n≥ 1），可以描述為：
[2]
- An= SU(n)，特殊酉羣，行列式為 1 的n×n酉矩陣。
- Bn= SO(2n+1)，特殊正交羣， (2n+1)×(2n+1) 行列式為 1 的實正交矩陣。
- Dn= SO(2n)，特殊正交羣， 2n×2n行列式為 1 的實正交矩陣。
為了某些特定的目的，去掉行列式為 1 的條件考慮酉羣和（不連通）正交羣也是自然的。表中所列即為所謂連通緊實形式羣；在複數域中有相應的類比，以及多種非緊形式，例如，和緊正交羣一起可考慮不定正交羣。這些羣相應的李代數稱為“典型李代數”。
典型羣例子
在代數中，考慮更廣泛的典型羣，給出特別值得關注的矩陣羣。當矩陣羣的係數環為實數或複數域時，這些羣就是上述的典型李羣。
當係數環是有限域時，典型羣是李型羣。這些羣在有限單羣的分類中扮演着重要的角色。考慮他們的抽象羣理論，許多線性羣有一個“特殊”子羣，常常由行列式為 1 的元素組成，大部分有一個伴隨的“射影”羣，它們是除掉羣中心的商羣。
“一般”一詞在羣的名稱前面通常表示這個羣可以用常數乘以某個形式，而不是保持不變。下標n經常表示羣作用的模之維數。特別注意：這種記法和 Dynkin 圖的n（為秩）可能衝突。
典型羣線性羣
一般線性羣GLn(R) 是某個模的自同構羣。有子羣特殊線性羣SLn(R) ，以及商羣射影一般線性羣PGLn(R) =GLn(R)/Z(GLn(R)) 和射影特殊線性羣PSLn(R) =SLn(R)/Z(SLn(R))。當n≥2 或n=2 且域R的階數不為 2 或 3 時，域R上的射影特殊線性羣PSLn(R) 為單羣。
典型羣酉羣
酉羣Un(R) 是保持某個模的半雙線性形式的羣。有子羣特殊酉羣SUn(R)，以及他們的商羣射影酉羣PUn(R) =Un(R)/Z(Un(R)) 與射影特殊酉羣PSUn(R) =SUn(R)/Z(SUn(R))。
典型羣辛羣
辛羣Sp2n(R) 保持一個模的斜對稱形式。它有一個商羣射影辛羣PSp2n(R)。將模的斜對稱形式乘以一個可逆純量的所有自同構組成一般辛羣GSp2n(R) 。除了n=1 且域的階數為 2 或 3 這兩個例外，域R上射影辛羣PSp2n(R) 是單羣。
典型羣正交羣
正交羣On(R) 保持一個模的非退化二次型。有子羣特殊正交羣SOn(R)，以及商羣射影正交羣POn(R) 與射影特殊正交羣。在特徵為 2 時，行列式總是 1，故特殊正交羣常定義為Dickson 不變量為 1 的元素。
有一個沒有名字的羣，經常記為 Ωn(R)，由所有Spinor 模為 1 的正交羣中元素組成。相應的子羣和商羣為SΩn(R)，PΩn(R)，PSΩn(R)（對實數域上正定二次型，羣 Ω 就是正交羣，但一般要比正交羣小）。Ωn(R) 也有一個二重複蓋羣，稱為Spin 羣Spinn(R)。一般正交羣由在二次型上的作用為乘以一個可逆純量的自同構組成。
