射影一般線性羣

射影一般線性羣(projective general lineargroup)是一類典型羣。即一般線性羣對中心的商羣。一般線性羣GL_n(K)對它的中心的商羣稱為K上n次射影一般線性羣，記為PGL_n(K)。GL_n(K)的中心由所有的形如λI的純量陣組成，其中λ跑遍K中所有的非零的中心元素。若V是K上n維右向量空間，P(V)是V的全體一維子空間的集合(即射影空間)，則由GL(V)在P(V)上的作用所得到的羣PGL(V)就是射影一般線性羣PGL_n(K)。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足： ^[2] 

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

一般線性羣亦稱全線性羣。一類重要的典型羣。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個羣，稱為V上的一般線性羣或全線性羣，記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個羣，稱為K上n次一般線性羣，記為GL_n(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GL_n(K)，從而得到GL(V)到GL_n(K)上的一個同構。在這個意義下，可以將GL(V)與GL_n(K)等同起來。

典型羣是一類重要的羣。一般線性羣、酉羣、辛羣、正交羣，以及它們的換位子羣、對中心的商羣等統稱為典型羣。實數域和複數域上的典型羣是李羣的重要例子，它們的構造及表示在李羣理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起着重要作用.迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型羣的構造的研究得到了一大批有限單羣.這是繼交錯羣之後人們發現的又一批重要的有限單羣系列。經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單羣的系列後，為有限單羣分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型羣的構造也得到了大量的單羣.迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型羣的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。

亦稱因子羣，又稱模H的剩餘類羣。由正規子羣的陪集組成的一種羣。設H是羣G的一個正規子羣，G關於H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成為一個羣，稱為G關於H的商羣。由於H是正規子羣，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商羣，結果是一致的。當G是加法羣時，G/H也常寫成G-H，稱為差羣。

設G為羣，R為與G的法則相容的G中之等價關係. 賦以商法則，則商集G/R是羣，稱在G對R的商羣.G的中性元素的等價類是G的正規子羣. 反之，對G的任一正規子羣G′，由滿足：

的偶(x，y)定義的關係R是與G的法則相容的等價關係。商羣G/R叫做G對G′的商羣，記為G/G′。

酉羣是一類重要的典型羣。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次酉羣，記為U(n).一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裏H∈GL_n(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換.關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子羣，稱為關於f的酉羣，記為U_n(K，f).從矩陣的觀點看，U_n(K，f)={A∈GL_n(K)|HA=H}.當f是交錯雙線性型時U_n(K，f)就是辛羣Sp_n(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U_n(K，f)就是正交羣O_n(K，f);當K是複數域，J是複共軛，H=I時，酉羣U_n(K，f)就是酉羣U(n)。 ^[3] 

辛羣是指一類重要的羣。辛空間的自同構羣。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構。(V，ω)的自同構全體構成羣GL(V)的一個子羣，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構羣記為Sp(2n，K).若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛羣。 ^[4]