正交羣

歐氏平面內，所有正交變換的集合構成羣，稱為正交變換羣，簡稱正交羣，它是一個三維羣。

例如，歐氏平面上正交變換構成羣，所以正交變換具有下列三個性質：

（1） 恆等變換是正交變換 ^[2] 

（2） 正交變換的逆變換是正交變換。

（3） 兩個正交變換的乘積仍然是正交變換。

一個圖形與經過正交變換所得到的對應圖形是合同的。由此可推出：合同具有反身性，對稱性和傳遞性，因而合同關係是一等價關係，它可將平面上所有的圖形分類，凡合同的圖形屬於同一等價類，歐氏幾何是研究等價類裏一切圖形所共有的性質，圖形關於正交變換羣下的不變性質所構成的命題系統就是歐氏幾何學。

研究圖形關於正交變換羣下圖形的不變性質和不變量的幾何分支就是歐氏幾何。歐氏幾何是仿射幾何的子幾何，也是射影幾何的子幾何所以射影性質、仿射性質都是歐氏幾何的不變性質。此外，在歐氏幾何中還可以研究長度、角度等度量性質。

正交羣是一類重要的典型羣。在實數域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次正交羣，記為O(n)。一般地，設V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立，則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個羣，稱為關於Q的正交羣，記為O_n(K，Q)。當K的特徵≠2時，V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交羣：

其中Q(x)=f(x，x)/2。當K是實數域，Q是單位二次型Q(x)=x·x時的正交羣O_n(K，Q)就是O(n)。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

典型羣是一類重要的羣。一般線性羣、酉羣、辛羣、正交羣，以及它們的換位子羣、對中心的商羣等統稱為典型羣.實數域和複數域上的典型羣是李羣的重要例子，它們的構造及表示在李羣理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起着重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型羣的構造的研究得到了一大批有限單羣。這是繼交錯羣之後人們發現的又一批重要的有限單羣系列.經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單羣的系列後，為有限單羣分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型羣的構造也得到了大量的單羣。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型羣的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。

辛羣是一類重要的羣。辛空間的自同構羣。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構。(V，ω)的自同構全體構成羣GL(V)的一個子羣，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構羣記為Sp(2n，K).若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛羣。

酉羣是一類重要的典型羣。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的羣稱為n次酉羣，記為U(n).一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裏H∈GL_n(K)且=εH，ε=±1.若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換.關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子羣，稱為關於f的酉羣，記為U_n(K，f).從矩陣的觀點看，U_n(K，f)={A∈GL_n(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U_n(K，f)就是辛羣Sp_n(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U_n(K，f)就是正交羣O_n(K，f);當K是複數域，J是複共軛，H=I時，酉羣U_n(K，f)就是酉羣U(n)。 ^[3] 

一般線性羣亦稱全線性羣。一類重要的典型羣。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個羣，稱為V上的一般線性羣或全線性羣，記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個羣，稱為K上n次一般線性羣，記為GL_n(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GL_n(K)，從而得到GL(V)到GL_n(K)上的一個同構。在這個意義下，可以將GL(V)與GL_n(K)等同起來。 ^[4]