酉羣

因為酉矩陣的行列式是模長 1 的複數，行列式給出了一個羣同態

這個同態的核是行列式為單位的酉矩陣集合，這個子羣稱為特殊酉羣，記作 SU(n)。我們有李羣的短正合列：

這個短正合列分裂，故 U(n) 可以寫成 SU(n) 與 U(1) 的半直積。這裏 U(1) 是 U(n) 中由

形式的矩陣組成的子羣。

酉羣 U(n) 對 n > 1 是非交換的。U(n) 的中心是數量矩陣λI，這裏 λ ∈ U(1)。這由舒爾引理得來。這樣中心同構於 U(1)。因為 U(n) 的中心是一個 1 維阿貝爾正規子羣，酉羣不是半單的。

酉羣 U(n) 作為 M_n(C) 的子集賦予相對拓撲， M_n(C) 是所有 n×n 復矩陣集合，本身同構於 2n² 維歐幾里得空間。 ^[1] 

作為一個拓撲空間，U(n) 是緊連通空間。因為 U(n) 是 M_n(C) 的一個有界閉子集，然後海涅-波萊爾定理可知緊性。欲證 U(n) 是連通的，回憶到任何酉矩陣 A 能被另一個酉矩陣 S 對角化。任何對角酉矩陣的對角線上都是絕對值為 1 的複數。從而我們可以寫成

U(n) 中從單位到 A 的一條道路由

給出。

酉羣不是單連通的；對所有 n，U(n) 的基本羣是無限循環羣

第一個酉羣 U(1) 是一個拓撲圓周，熟知其有同構於 Z 的基本羣，包含映射 U(n) \to U(n+1) 在 π1 上是同構（其商是斯蒂弗爾流形）。

行列式映射

誘導了基本羣的同構，分裂映射

誘導其逆。

酉羣是正交羣、辛羣與複數羣的 3 重交集：

從而一個酉結構可以視為一個正交結構、復結構與辛結構，他們要求是“一致的”（意思是説：復結構與辛形式使用同樣的 J，且 J 是正交的；取定一個 J 將所有羣寫成矩陣羣便確保了一致性）。 ^[2] 

事實上，它是這三個中任何兩個的交；從而一個一致的正交與復結構導致了一個辛結構，如此等等。

在方程的層次上，這可以有下面看出

辛：A^TJA = J,

復：A⁻¹JA = J,

正交：A^T = A⁻¹,

任何兩個方程藴含第三個。

在形式的層次上，這可從埃爾米特形式分解為實部與虛部看出： 實部是對稱的（或正交），虛部是斜正交（辛）——他們由復結構聯繫（這便是一致性）。在一個殆凱勒流形上，可以將這個分解寫成 h = g + iω，這裏 h 是埃爾米特形式，g 是黎曼度量，i 是殆復結構，而 ω 是殆辛結構。

從李羣的觀點來看，這可部分地解釋如下： O(2n) 是

的極大緊子羣，而 U(n) 是

與 Sp(2n) 的極大緊子羣。從而交集

或

是這些羣的極大緊子羣，即 U(n)。從這個觀點來看，意料之外的是交集

。

用 G-結構的語言來説，一個具有 U(n)-結構的流形是一個殆埃米爾特流形。

從李羣的觀點來看，典型酉羣是斯坦伯格羣

的實形式，後者是由一般線性羣的“圖表自同構”（翻轉 Dynkin diagram An，對應於轉置逆）與擴張

的域同構（即複共軛）的複合得到的代數羣。兩個自同構都是代數羣的自同構，階數為 2，可交換，酉羣作為代數羣是乘積自同構的不動點。典型酉羣是這個羣的實形式，對應於標準埃爾米特形式 Ψ，它是正定的。 ^[3] 

這可從幾個方面推廣：

推廣到其它埃爾米特形式得到了不定酉羣

；

域擴張可用任何 2 階可分代數取代，最特別地是一個 2 階有限域擴張；

推廣到其它圖表得出李型羣，即其它斯坦伯格羣

, （以及

）Suzuki-Ree 羣

；

考慮一個推廣的酉羣作為代數羣，可取它的點在不同的代數上。

類似於不定正交羣，給定一個不必正定（但一般取為非退化）的埃爾米特形式，考慮保持這個形式的變換，我們可以定義不定酉羣。這裏我們在復向量空間上考慮問題。

給定復向量空間 V 上的一個埃爾米特形式 Ψ，酉羣 U(Ψ) 是保持這個形式的變換羣：變換 M 使得 Ψ(Mv,Mw) = Ψ(v,w)，對所有

。寫成矩陣，設這個形式用矩陣 Φ 表示，這便是説 M *ΦM = Φ。

就像實數上的對稱形式，埃爾米特形式由符號確定，所有都是酉合同於對角線上 p 個元素為 1，q 個 - 1 的對角矩陣。非退化假設等價於 p + q = n。在一組標準基下，這代表二次形式：

,

作為對稱形式是：

,

得出的羣記為 U(p,q) 。

在 q = p^r 個元素的有限域

上，有一個唯一的 2 階擴張域

，帶有 2 階自同構

（弗羅貝尼烏斯自同構的 r 次冪）。這使得我們可以定義

上一個向量空間 V 上的埃爾米特形式，是一個

-雙線性映射

使得

以及 Ψ(w,cv) = cΨ(w,v) 對

。 另外，有限域上向量空間的所有非退化埃爾米特形式都酉合同與用恆同矩陣表示的標準形式。這便是説，任何埃爾米特形式酉等價於

,

這裏 w_i,v_i 表示

在 n-維空間 V 的某個特定

-基下的座標(Grove 2002, Thm. 10.3)。

從而我們對擴張

可以定義一個（唯一的）n 維酉羣，記作 U(n,q) 或

（取決於作者的習慣）。酉羣中矩陣的行列式為 1 的子羣稱為特殊酉羣，記作 SU(n,q) 或 SU(n,q²)。為方便起見，本文使用 U(n,q²) 寫法。U(n,q²) 的中心的階數為 q + 1 由為酉數量矩陣組成，這便是所有矩陣 cI_V，這裏 c^q+1 = 1 。特殊酉羣的中心的階數為 gcd(n,q + 1) ，由那些階數整除 n 的酉數量矩陣組成。酉羣除以中心的商稱為射影酉羣，PU(n,q²)，特殊酉羣除以中心是射影特殊酉羣 PSU(n,q²) 。在大多數情形（

與

），SU(n,q²) 是完全羣而 PSU(n,q²) 是有限單羣(Grove 2002, Thm. 11.22 and 11.26)。

更一般地，給定一個域 k 與一個 2 階可分 k-代數 K（可能是一個域擴張但也未必），我們可以定義關於這個擴張的酉羣。

首先，存在 K 的唯一 k-自同構

是一個對合且恰好不動元為 k（

當且僅當

)。這是複共軛與 2 階有限域擴張共軛的推廣，從而我們可以在它上面的定義埃爾米特形式與酉羣。

定義酉羣的方程是一些 k 上的多項式方程（但不是在 k 上）：對標準形式 Φ = I，這些方程由矩陣 A * A = I給出，這裏 A^*=\overline A^t 是 共軛轉置。給定另外一個形式，它們是 A * ΦA = Φ 。從而酉羣一個代數羣，它在一個 k-代數 R 上的點由

給出。

對域擴張

與標準（正定）埃爾米特形式，這得出了具有實點與復點的代數羣：

,

.

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G；

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c)；

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

羣是現代數學中最重要的具有概括性的概念之一，有關羣的性質及其結構的理論稱為羣論。

1831年，年僅20歲的青年數學家伽羅華得到n次方根可否通過對係數施行四則 和開方運算來求解的判據，一舉解決了五 次以上代數方程求解的千古難題。這個問題得以解決，取決於他對置換羣性質所作的深入討論，羣的概念就在這時產生了。 研究代數方程的性質與羣的性質之間的關係已成為一門大理論伽羅華理論所研 究的對象，伽羅華理論在羣論的發展中起 作決定性的作用。40年後克萊因的變換羣導致幾何觀的一次革命; 索福斯·李研究 微分方程，開創李羣論，更深刻影響着數 學物理的發展。在數學物理的對稱現象的 研究中，對稱的概念看來是明顯的，但對 對稱概念的精確和一般的描述，特別是對 稱性質量上的計算，卻要用羣論這個工具 才行。19世紀到20世紀，在幾何、晶體等 物理、化學中，都弄清了對稱規律的重要 意義，因此羣論的方法和結果得以廣泛使 用。1890年，費道洛夫用羣論闡明晶體結 構的幾何形態，特別是20世紀30年代， 書爾、維格納等人把羣論應用於量子力學 取得成功，導致了原子、分子結構的重要 發現。羣論已經是量子物理和量子化 學常用的工具了，這更使羣論走出了純數 學專業的數學王國，活躍於更廣闊的科學 地。今天，羣的概念已普遍被認為是數學 及其許多應用中最基本的概念之一，它不 但滲透到像幾何學、代數拓撲學、函數論、 泛函分析及其他許多數學分支中而着重要 的作用，還形成了一些新學科，如拓撲羣、 李羣、代數羣、算術羣等。它們還具有與 羣結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析 流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、 量子化學以至編碼學、自動機理論等方面 都有重要應用。作為推廣 “羣” 的概念的 產物，羣論及其在計算機科學中的應用， 也有很大的發展。

羣的概念中有兩個方面： 一是指出它 的元素是哪些事物，二是元素間運算的規 則，可分別用它們來研究羣。研究羣的元 素和元素集合的各種性質，以及它們同羣 的運算性質之間的聯繫，這常常是研究各 種具體的羣，如交換羣、置換羣、運動羣、 拓撲羣等; 也可研究完全由羣的運算性質 表示出來的特性，它屬於抽象羣論或一般 羣論。下面是一些抽象羣論的概念： 同構， 一個羣的元素與另一個羣的元素對應，運 算結果也是對應的，稱兩個羣同構; 一個 羣所含元素的個數稱為羣的階，羣G的階 記為|G| ，|G|有限時為有限羣，無限 時為無限羣; 同構中兩個羣中的元素是一 一對應的，若存在多對一的對應則稱為同 態。