正規子羣

設G是一個羣 ，H是其子羣。 當且僅當H滿足如下條件之一，稱H是G的正規子羣或不變子羣，記為H⊴G。

1. H的左陪集與右陪集總是相等。 ^[1] 

2.

，aH = Ha。

除了定義，判定H是G的正規子羣。有如下一些等價的條件：

1.

，

；

證： 必要性：任取a ∈ G , n ∈H , 由於H是正規子羣, an ∈aH=Ha , 故∃n1 ∈ H,

使得an =n1a, 從而

。

充分性 : 任取an ∈aH , 由條件,

，故∃n 1 ∈ H , 使得

，從而

an =n 1a ∈ Ha ，故 aH ⊆ Ha .

反之, 任取na ∈Ha , 由於

，故由條件，

， 因此必∃n 1 ∈ H , 使得

，從而na = an 1 ∈aH , 故Ha ⊆ an .

由以上兩方面知, aH=Ha ( ∀a ∈ G ), 因而H是G的正規子羣.

2. a∈G,

；

證:任取a ∈ G，有

，故H是G的正規子羣。

3. 對任何a∈G， aH=Ha;

4. 對任何a∈G，b∈G，如果ab∈H,那麼總有ba∈H;

5. 商集G/H上有羣運算： (aH)(bH)=(ab)H

6. H是 G 的若干共軛類的並集。

7. 有在其中 H為核的某個 G 上的羣同態。 ^[2] 

f₁={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f₂={<1,2>,<2,1>,<3,3>}

f₃={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, 　f₄={<1,1>,<2,3>,<3,2>}

f₅={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, 　f₆={<1,3>,<2,1>,<3,2>}

令G={f₁,f₂,…,f₆},則G關於函數的複合運算構成羣。G的全體子羣是：

H₁={f₁}, H₂={f₁,f₂}, 　H₃={f₁,f₃}

H₄={f₁,f₄}, H₅={f₁,f₅,f₆}, H₆=G

不難驗證,H₁,H₅和H₆是G的正規子羣,而H₂,H₃和H₄不是正規子羣。

滿同態保持正規子羣的性質，逆映射也是一樣。

直積保持正規子羣的性質。

G的正規子羣的正規子羣不一定是G的正規子羣，即是説正規子羣沒有傳遞性。但是，G的正規子羣的特徵子羣總是G的正規子羣。

G的所有2階的子羣都是正規子羣。G中每個階為n的子羣都包含一個G的正規子羣K，它對G的階整除n! 。特別地，當p是|G|的最小質因數時，G的所有p階的子羣都是正規子羣。

任何羣同態σ：G→G' 的核Ker σ 都是G的正規子羣。

（羣同態基本定理） 商羣G/Ker σ≌Im σ.

利用羣同態的核構造正規子羣是一種常用方法。 ^[3] 

單羣就是指不含非平凡正規子羣的羣。伽羅華(Galois)證明了交錯羣

是單羣（伽羅華理論）。這一結論和5次以上一元多項式方程是否根式可解密切相關。

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。 ^[4]