交錯羣

對 n > 1，羣 A_n 是對稱羣 S_n 的交換子羣，指數為 2，從而有n!/2 個元素。 ^[2]  它是符號羣同態 sgn : S_n → {1, −1} 的核。

羣 A_n 是阿貝爾羣，當且僅當 n ≤ 3，單當且僅當 n = 3 或 n ≥ 5。注意 A₃ 事實上是 3 階單羣。A₁ 與 A₂ 是 1 階羣，一般不稱為單的，而 A₄ 有一個非平凡正規子羣從而不單。A₅ 是最小非阿貝爾單羣，階數為 60，也是最小不可解羣。 ^[3] 

在對稱羣中，A_n的共軛類由有相同輪換型的元素組成。但是如果輪換類型只由沒有兩個長度相等的奇數長的輪換組成，這裏長為 1 的輪換包含在輪換型中，則對這樣的輪換型恰有兩個共軛類 （Scott 1987，§11.1, p299）。 ^[2] 

例如：

4 階交錯羣是 A₄= {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 。

對稱羣和交錯羣的自同構

對n> 3，除了n= 6，A_n的自同構羣就是 S_n的自同構羣，其內自同構羣為A_n外自同構羣為Z₂；外自同構來自用一個奇置換共軛。

對n= 1 與 2，自同構羣平凡。對n= 3 自同構羣是Z₂，其內自同構羣平凡外自同構羣為Z₂。

A₆的外自同構羣是克萊因四元羣V=Z₂×Z₂，這也是S₆的自同構羣。A₆另外的自同構將三輪換（比如 (123)）與 3型元素（比如 (123)(456)）交換。

在小交錯羣與小李型羣之間有一些同構。他們是

更顯然有 A₃同構於循環羣Z₃，以及 A₁與 A₂同構於平凡羣（也是 SL₁(q)=PSL₁(q) 對任何q）。

A₄是説明拉格朗日定理的逆命題一般不成立的最小羣：給定一個有限羣G和 |G| 的一個因子d，不一定存在G的一個d階子羣。羣G=A₄，階為 12，沒有 6 階子羣。有三個元素的子羣（由三個對象的輪換旋轉生成）再加上任何一個其它元素生成整個羣。

交錯羣的羣同調體現了類似穩定同倫理論（stable homotopy theory）中的穩定性：對足夠大的n是常值。

第一同調羣與阿貝爾化相同，因為A_n除去已經提到的例外是完全羣（perfect group），從而有

for n=1,2 and

當n等於 5 或大於等於 8 時，交錯羣 A_n的舒爾乘子（Schur multiplier）是 2 階循環羣；在 6 和 7 時有一個三重複蓋，則舒爾乘子的階數為 6。

對

對

與