克萊因四元羣

數學上，克萊因(Klein)四元羣，這個定義是在1884年被菲利克斯·克萊因命名的，它是最小的非循環羣。有4個元素，除單位元外其階均為2。

克萊因四元羣通常以V表示或K4表示，意為Z2×Z2，（來自德文的四元羣Vierergruppe）。它也是阿貝爾羣，就是2階的循環羣與自身的直積。它也同構於4階的二面體羣。 ^[1] 

克萊因羣的Cayley表：

克萊因四元羣也由羣的定義介紹：

克萊因羣的所有元素都2階的，克萊因四元羣是最小的非循環羣。然而，它又是一個阿貝爾羣，與4階的二面體羣（基數）Dih₂是同構的；除了2階的羣以外，它是唯一的阿貝爾二面體羣。

克萊因四元羣也直接與Z2⊕Z2同構，使其可以表示為{（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）} 的組分方式。因此，克萊因四元羣是一個基本的阿貝爾2階羣的例子，也稱為布爾羣。因此，克萊因四元羣也是由對稱差異產生的羣，作為具有兩個元素的集合的冪子集上的二進制運算，即在具有四個元素的集合中。

，在這種情況下，空集是羣的本體元素。

克萊因四元羣的另一個數值結構是集合{1,3,5,7}，其運算是“multiplicationmodulo 8”。這裏a是3，b是5，c = ab是3×5 = 15≡ 7。 ^[2] 

這個十字架的對稱羣是克萊因四元羣。 它可以水平（a）或垂直（b）或兩者（ab）翻轉並保持不變。

在幾何學上，克萊因四元羣是菱形的對稱羣，矩形的對稱羣不是正方形，四個元素都是本體的。

在三維中有三個不同的對稱羣，代表性是克萊因四元羣V：

（1）一個具有三個垂直的2倍旋轉軸：D₂

（2）一個具有2倍旋轉軸和一個垂直的反射平面：C_2h = D_1d

（3）一個在反射平面（從而也在垂直的反射平面）上具有2倍旋轉軸的旋轉軸：C_2v = D_1h。

克萊因四元羣中的二階的三個要素是可互換的：V的自同構羣是這三個元素的排列組。

克萊因四元羣自己的元素的排列可以被抽象地認為是它在四點上的排列表示：

在該表示中，V是四個字母上的交替羣A4（以及對稱組S4）的正常子羣。 事實上，它是從S4到S3的同態內核。

S4內的其他表示如下：

但它們不是S4的正常子羣。

根據伽羅瓦理論，克萊因四元羣的存在（特別是其置換表示）解釋了由Lodovico Ferrari建立的計算四次方程根的公式： S4→S3對應於立方，以拉格朗日解析度計。

在有限環的建立中，有四個元素的十一個環中有八個具有克萊因四元羣作為其加性子結構。

如果R×表示非零的乘法組，R +是正數的乘法組，則R××R×是環R×R的單位組，R +×R +是R××R的子組 ×（實際上是R××××××××××××××××××） 商組（R××R×）/（R +×R +）與克萊因四元羣是同構的。 以類似的方式，分裂複數環的單位組除以其本體成分，也導致克萊因四元羣的形成。 ^[3] 

作為交替組A4的子組的克萊因四元羣不是任何簡單圖的自動組。 然而，它是雙頂點圖形的自同構組，其中頂點以兩個邊緣彼此連接。 它也是以下簡單圖的自同構羣，但是在置換表示{（），（1,2），（3,4），（1,2）（3,4）}中，其中點被標記 左上角，左下角，右上角，右下角 ^[4]  ：

若把克萊因四元羣記作V = { 0, e, f, g }，其運算為加法"+"，那麼以下為其運算表：

這運算是對合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克萊因四元羣可擴展為有限域，稱為克萊因域，加入乘法為第二個運算，以0為零元，e為單位元。乘法與加法符合分配律。乘法表為：

克萊因四元羣3個階2的元之間的對稱性，可以從它在4點上的置換表示看出：

在這表示中，V是交錯羣A₄的正規子羣，也是4個字母上的對稱羣S₄的正規子羣。根據伽羅瓦理論，克萊因四元羣的存在，而且還具有這特別的表示，解釋了四次方程可以用根式求解的原因。