對稱羣

對稱羣是指含置換羣為子類的一類具體的有限羣。有限集合Ω上全體置換組成的羣，稱為Ω上對稱羣，記為S_Ω或Sym(Ω)。由於當|Ω|=|Ω′|=n時，對稱羣S_Ω和S_Ω′是置換同構的，所以也把S_Ω記為S_n。S_n的階為n!。一切次數為n的置換羣都可以看成S_n的子羣，Ω上全體偶置換組成的羣稱為Ω上的交錯羣，記為A_Ω或Alt(Ω)，或A_n，若n=|Ω|，則A_n的階為n!/2，它是S_n的指數為2的正規子羣。S_n，A_n這兩個羣在置換羣理論和抽象羣論中佔有特殊的地位。這一方面由於對一切n，S_n是n重傳遞羣，而當n>2時，A_n是n-2重傳遞羣；另一方面也由於當n≥5時，A_n為單羣，它們是一類重要的有限單羣。

設X是一個集合（可以是無限集），X上的一個雙射：a：X→X（即是置換）。

集合X上的所有置換構成的族記為S(x)，S(x)關於映射的複合運算構成了一個羣，當X是有限集時，設X中的元素個數為n，則稱羣S(x)為n次對稱羣。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G；

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c)；

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣；時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅瓦在1830年首先提出的。 ^[3] 

一類具體的有限羣，有限集合到自身的一一映射稱為一個置換，有限集合Ω上的一些置換組成的集合，在置換的乘法下所組成的羣，稱為置換羣。此羣的階是有限的。研究置換羣的性質和構造的理論稱為置換羣論。凱萊(Cayley，A.)證明：任何一個有限羣都同構於一個置換羣。因此，可以把一切有限羣都看成置換羣。由於置換羣比抽象羣更為直觀，而一些數學對象的自同構羣是以置換羣的面貌出現的。所以，在歷史上對置換羣的研究先於對抽象羣的研究。著名的伽羅瓦理論就是把高次方程的根式可解性的研究轉化成為對置換羣的研究的，事實上，伽羅瓦(Galois，E.)本人就曾得到有關置換羣的一些深刻定理。

置換羣是指由置換組成的羣。n元集合Ω={a₁，a₂，…，a_n}到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或n元置換。

有限羣在其形成時期幾乎完全在置換羣的形式下進行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作裏，引進了n個根的一些函數進行研究，開創了置換羣的子羣的研究，得到“子羣的階必然能整除羣的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換羣進行了詳細的考察，引進了羣的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發表了關於置換羣的重要文章(1815)。他以方程論為背景，證明了不存在n個字母(n次)的羣，使得它對n個字母的整個對稱羣的指數小於不超過n的最大素數，除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換羣的理論做出了最重要的貢獻，他引進了正規子羣、兩個羣同構、單羣與合成羣等概念，發展了置換羣的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所瞭解。柯西在1844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換羣。他把許多已有的結果系統化，證明了伽羅瓦的斷言：每個有限(置換)羣，如果它的階可被一個素數p除盡，就必定至少包含一個p階子羣。他還研究了n個字母的函數在字母交換下所能取的形式值(即非數字值)，並找出一個函數，使其取給定數目的值。

置換羣的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中，他本人還發展了置換羣理論及其應用。

循環羣的任一直積是有限交換羣。反之，任一有限交換羣必具有這種形式，其階為素數的所有有限羣皆是循環羣。

任一有限羣(不一定是交換的)同構於一有限集的置換羣的一個子羣。人們還沒有弄清楚有限羣的分類。

非交換的有限羣之研究基本上停留在p-羣的概念上。這是指其階為一個素數p的冪的有限羣.有限羣G的所有最大p-子羣叫做G的西羅子羣；G的所有西羅p-子羣都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪.

具有有限多個元素的羣，是羣論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限羣的階。歷史上，抽象羣論的許多概念起源於有限羣論。有限羣可分為兩大類：可解羣與非可解羣(即單羣)。

有限羣的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解羣和單羣是抽象羣理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單羣和可解羣，證明：一個素數階循環羣是單羣，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換羣是單羣。他還發現了許多其他有限的單羣。赫爾德和若爾當還建立了在有限羣中的若爾當—赫爾德合成羣列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解羣的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解羣的定理，導致了對有限單羣進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限羣中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階羣一定是可解羣。它推動了有限羣理論的發展。有限單羣的完全分類，即找出有限單羣所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。 ^[4] 

正n邊形的所有對稱變換和對稱變換的合成“?”構成它的對稱羣，叫做二面體羣，記作( Dn，? )，裏面有2n個元素。

（1）僅含有恆等變換。

（2）僅含有恆等變換和一個反射變換。

（3）含有n個旋轉變換，而沒有反射變換。〔這樣的對稱羣叫做循環羣〕

（4）含有n個旋轉變換和反射變換。〔這樣的對稱羣叫做二面體羣〕 ^[5]