可解羣

對於有限羣 ^[1]  ，有一個等價的定義為：一可解羣為一有着其商羣皆為質數目的循環羣之合成列的羣。此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾羣都是有質數目的循環羣。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質，則其循環羣即會對應到某個體上的n個根。但此一定義的等價性並不必然於無限羣中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數羣Z的非當然子羣皆同構於Z本身，它不會有合成列，但是其有着唯一同構於Z的商羣之正規列{0,Z}，證明了其確實是可解的。

和喬治·波里亞的格言“若有一個你無法算出的問題，則會有的你可以算出的較簡單的問題”相一致的，可解羣通常在簡化有關一複雜的羣的推測至一系列有着簡單結構－阿貝爾羣的羣的推測有着很有用的功用。

所有的阿貝爾羣都是可解的－其商羣A/B總會是可交換的，若A為可交換的。但非阿貝爾羣則不一定都是可解的。

更一般地，所有冪零羣都是可解的。特別地是，所有的有限p-羣都是可解的，因為所有的有限p-羣都會是冪零的。

可解但不為冪零的羣的一個小例子為對稱羣S3。實際上，當最小的簡單非可貝爾羣為A5(5度的交錯羣)時，它允許每一個目小於60的羣皆為可解的。

羣S5不是可解的－它有一合成列{E,A5,S5}(且若爾當-赫爾德定理表示每個其他的合成列都會等價於此一合成列)，給出了同構於A5及C2的商羣；而A5為非可換的。廣義化此一論述，結合An在n > 4時為Sn的正規、最大且非阿貝爾簡單子羣的事實，可知n > 4的所有Sn皆不可解，此亦為證明每一個n > 4的n次多項式都不可以以方根得解的關鍵步驟。

著名的範特-湯普遜定理敍述著，每一個奇數目的有限羣皆是可解的。特別地是，此定理表示，若一有限羣為簡單的，其必為質數循環或有偶數目。

可解性的性質在某一意義上是可繼承的，如下：

若G為可解的，且H為G的子羣，則H也是可解的。

若G是可解的，且H為G的正規子羣，則G/H也是可解的。

若G是可解的，且存在一G滿射至H的同態，則H也是可解的。

若H及G/H為可解的，則G也是可解的。

若G及H為可解的，則其直積G × H也是可解的。

設G是羣，a，b

G，定義a,b的換位子[a,b]=

，由G的所有換位子生成的羣稱為G的換位子羣或導羣，記作G’，定義G的高階導羣

，若存在正整數n使得

（1是G的單位元），則稱G是可解羣。該定義與用正規子羣列的定義等價。

做為可解性的加強版，一個羣G被稱為超可解的，若它有一其商羣皆為循環羣的不變正規列；換句話説，if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G，且每個Ai+1/Ai都不只是可交換而已，且也是循環的(可能為無限目)。因為一正規列在定義中有有限的長度，所以不可數阿貝爾羣不會是超可解的。實際上，所有的超可解羣皆為有限產生羣，且一個阿貝爾羣為超可解的當且僅當其為有限產生的。

若限制在有限產生羣中，將可以有下列的排序： ^[2] 

循環羣 < 阿貝爾羣 < 冪零羣 < 超可解羣 < 多重循環羣 < 可解羣 < 有限生成羣

證:若S5是可解的，則存在正規子羣N使S5/N可交換。設f為S5到S5/N的自然同態，考察三項循環(a,b,c)∈S5，再取另兩元d，e。令x=(d,b,a),y=(a,e,c)。x^-1y^-1xy的f像為x‘^-1y'^-1x'y'∈S5/N，由S5/N可交換知x‘^-1y'^-1x'y'=1，即有x^-1y^-1xy=(a,b,c)∈N。故N包含所有三輪換，同理其正規羣列均包含三輪換，所以不可能結束於1。（此證明事實上也給出了5次以上的證明）