冪零羣

在羣體理論中，冪零羣是“差不多的阿貝爾”羣體。 這個想法的出現是由於冪零羣是可解的，而對於有限的冪零羣來説，是可以超解的（supersolvable）。 這個概念被俄羅斯數學家謝爾蓋切爾尼科夫在20世紀30年代編輯出來。

和羣體的分類一樣，伽羅瓦理論中也出現了冪零羣。同樣的，他們也在李羣的分類中被突出的顯示出來。

類似術語用於李代數（使用李括號），包括冪零，下中央系列和上中央系列。 ^[1-2] 

該定義使用這個想法：用自己來解釋羣的中央系列。 以下是等效的定義方式：

（1）冪零羣是具有有限長度的中心繫列的羣。

（2）冪零羣是一個低級中心繫列在有限步驟之後終止於普通羣中的羣。

（3）冪零羣是一個上中心繫列在有限的步驟之後終止於整個羣的羣。

對於冪零羣，最小的n使得G具有長度為n的中心繫列被稱為G的冪零級；而G被認為是級數n的冪零。 （根據定義，如果系列中有n + 1個不同的子羣，包括普通的子羣和整個羣，那麼長度為n。

同樣的，G的冪零羣是下中央系列或上中央系列的長度。 如果一個羣的冪零級最大是m，那麼它有時被稱為

羣。

冪零級是0的羣是唯一的，並且級別為1的冪零羣正是高級的阿貝爾羣。 ^[3] 

（1）如上所述，每個阿貝爾羣都是冪零羣。

（2）對於一個小的非阿貝爾羣的例子，考慮一個四元羣Q₈，它是一個最小的非阿貝爾p羣。 它具有階數2的中心{1，-1}，其中心繫列為{1}，{1，-1}，Q8; 所以這是級別為2的冪零羣。

（3）所有有限的p組實際上都是冪零羣。pⁿ羣的最大階數是n-1。

（4）兩個冪零羣的直接計算結果還是冪零羣。

（5）相反，每個有限的冪零羣是p組的直接乘積。

（6）海森堡羣是非阿貝爾羣，但卻是冪零羣。

（7）任何場F上的上單位三角形n×n矩陣的乘法組是冪零長度n-1的冪零羣。

（8）場F上的可逆上三角形n×n矩陣的乘法組不是一般的冪零羣。 ^[4] 

之所以叫冪零羣，是因為任何元素的“伴隨動作”是冪零的，這意味着對於冪零羣G的冪零度n和元素g，函數

是由

定義的（其中

是g和x的換向公式），第n次迭代是冪零的：

。

這不是冪零羣的定義特徵：

是n的冪級的羣被稱n-恩格爾羣，一般不需要是冪零的。

由於上中央序列中的每個連續因子羣Z_{i + 1} / Z_i是阿貝爾的，並且集也是有限的，所以每個冪零羣是具有相對簡單結構的可解羣。

級別為n的冪零羣的每個子羣的等級最多為n；另外，如果f是等級為n的冪零羣的同態羣，則f的圖像也是等級最多為n的冪零羣。

以下陳述等同於有限羣，揭示了冪零羣的一些有用的屬性：

（a）G是一個冪零羣。

（b）如果H是G的子羣，則H是N_G（H）的正常子羣。 這被稱為歸一化，可以簡單地表述為“規範化程序增長”。

（c）G的每個Sylow子羣均正常。

（d）G是其Sylow子羣的直接產物。

證明：

（a）→（b）：通過 G |。 如果G為阿貝爾羣，則對於任何H，N_G（H）=“G”。 如果不是，如果Z（G）不包含在H中，則h_ZH_Z^-1h^-1 = h'H'h^-1 = H，所以H·Z（G）歸一為H。如果Z（G）包含在H ，則G / Z（G）中含有H / Z（G）。 因此，存在G / Z（G）的子羣，H / Z（G）和H / Z（G）是其亞羣。 因此，將這個子羣撤回到G中的子羣，並將其歸一化。（這個證明與p組相同 - 只有當G是無效時，G / Z（G） - 所以細節省略。）

（b）→（c）：令p1，p2，...，ps是除以其順序的不同素數，並且令Sylpi（G）中的Pi為1≤i≤s.Let對於某些i 並使N = NG（P）。 由於P是N的正常子組，P是N中的特徵。由於P char N和N是NG（N）的正常子羣，所以我們得到P是NG（N）的正常子羣。 這意味着NG（N）是N的子羣，因此NG（N）= N.By（b），因此我們必須具有N = G，其給出（c）。

（c）→（d）：令p1，p2，......，ps為不同的素數除以其順序，並且令S 1（i）中的Pi為1≤i≤s.對於任何t，1≤t 表示P1P2 ... Pt與P1×P2×...×Pt同構。 首先注意，每個Pi在G中是正常的，因此P1P2 ... Pt是G的子羣。令H為乘積P1P2 ... Pt-1，令K = Pt，因此H與P1×P2×...×Pt-1。 特別地，拉格朗日定理意味着H和K的等價於1.通過定義，P1P2 ... Pt = HK，因此HK與H×K同構，等於P1×P2×...×Pt。再取t = s得到（d）。

（d）→（a）：容易獲得Z（P1×P2×...×Ps）與Z（P1）×...×Z（Ps）同構，則G / Z（G）=（P1 / Z））×...×（PS / Z（Ps）的）。 因此，（d）的假設也適用於G / Z（G）。如果Pi≠1則Z（Pi）≠1，所以如果G≠1，| G / Z（G）| 小於| G |。 通過歸納，G / Z（G）是冪零的，所以G是冪零的。

最後一個語句可以擴展到無限羣：如果G是一個非零羣，則G的每個Sylow子羣G_p都是正常的，並且這些Sylow子羣的直接乘積是G中有限階的所有元素的子羣。 ^[5]