abel羣

阿貝爾羣的羣運算符合交換律，因此阿貝爾羣也被稱為交換羣。它由自身的集合G和二元運算* 構成。它除了滿足一般的羣公理，即運算的結合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理 ^[2] 

。

因為阿貝爾羣的羣運算滿足交換律和結合律，羣元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。而羣運算不滿足交換律的羣被稱為“非阿貝爾羣”，或“非交換羣”。

阿貝爾羣有兩種主要運算符號—加法和乘法。

一般地説，乘法符號是羣的常用符號，而加法符號是模的常用符號。當同時考慮阿貝爾羣和非阿貝爾羣時，加法符號還可以用來強調阿貝爾羣是特定羣。

驗證有限羣是阿貝爾羣，可以構造類似乘法表的一種表格（矩陣），它稱為凱萊表。如果羣G= {g₁=e,g₂, ...,g_n}在運算⋅下，則這個表的第(i,j)個表項包含乘積g_i⋅g_j。羣是阿貝爾羣當且僅當這個表是關於主對角線是對稱的（就是説這個矩陣是對稱矩陣）。

這是成立的因為如果它是於阿貝爾羣，則g_i⋅g_j=g_j⋅g_i。這藴含了第(i,j)個表項等於第(j,i)個表項，就是説這個表示關於主對角線對稱的。

阿貝爾羣是Camille Jordan以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種羣與根式可解性的聯繫的重要性。

如果n是自然數而x是使用加號的阿貝爾羣G的一個元素，則nx可以定義為x+x+ ... +x（n個數相加）並且（−n）x= −（nx）。以這種方式，G變成在整數的環Z上的模。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾羣。

關於阿貝爾羣（比如在主理想整環Z上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾羣的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾羣的情況下，這個定理保證阿貝爾羣可以分解為撓羣和自由阿貝爾羣的直和。前者可以被寫為形如Z/p^kZ對於素數p的有限多個羣的直和，而後者是有限多個Z的複本的直和。

如果f,g:G→H是在阿貝爾羣之間的兩個羣同態，則它們的和f+g，定義為(f+g)(x) =f(x) +g(x)，也是阿貝爾同態。（如果H是非阿貝爾羣則這就不成立。）所有從G到H的羣同態的集合Hom(G,H)因此是自身方式下的阿貝爾羣。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾羣都有秩。它定義為羣的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子羣都有秩1。 ^[3] 

矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾羣，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的羣是在矩陣乘法下的阿貝爾羣 - 一個例子是2x2旋轉矩陣的羣。

整數模以n的循環羣Z/nZ是最常見的羣的例子。已證實了任意有限阿貝爾羣都同構於素數階的有限循環羣的直和，並且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變量（invariant）的完備系統。有限阿貝爾羣的自同構羣可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和Ludwig Stickelberger在1879年的論文，後來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了線性代數的一個重要組成部分。

有限阿貝爾羣的基本定理聲稱所有有限阿貝爾羣G都可以表達為素冪（prime-power）階的循環子羣的直和。這是有限生成阿貝爾羣的基本定理在G有零秩時的特殊情況。

mn階的循環羣

同構於

與

的直和，當且僅當m與n是互素的。可推出任何有限阿貝爾羣G同構於如下形式的直和

以任何下列規範方式：

例如，

可以被表達為3階和5階的兩個循環羣的直和：

。對於任何15階的阿貝爾羣這也成立，導致了所有15階阿貝爾羣都是同構的的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾羣都同構於要麼

(整數0到7在模8加法下)，

（奇數1到15在模16乘法下），要麼

。

小於等於16階的有限阿貝爾羣可參見小羣列表。