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主理想整環

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主理想整環是比唯一因子分解整環範圍更窄的整環類。若一個環R的任意理想都是主理想，則稱R為主理想環。若R同時又為整環，則R稱為主理想整環。
中文名
主理想整環
外文名
principal ideal domain
所屬學科
環論

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 性質
  3. 3 例子
  1. 4 主理想環
  2. ▪ 定義
  3. ▪ 等價定義
  1. 5 整環

主理想整環簡介

設R是一個整環，同時是一個主理想環，則稱 R 是主理想整環。

主理想整環性質

1.主理想整環必為唯一因子分解整環。
2.主理想整環R上任何有限生成投射模都同構於Rn，其中n為模的秩，故
。 [2] 
3.設I是主理想整環R的非零真理想，則
I 是素理想
I 是極大理想。 [1] 
4.R中元r為不可約元，當且僅當(r)為極大理想。
5.R中元為素元，當且僅當其為不可約元。 [3] 

主理想整環例子

1.整數環
是主理想整環。
2.設F是域，則多項式環F[x]也是主理想整環。 [2] 

主理想整環主理想環

主理想整環定義

一個環叫做一個主理想環，假如每一個理想都是一個主理想，則稱一個主理想環一定是一個唯一因子分解環。

主理想整環等價定義

設A為整環，那麼下面的條件等價：
1. A是主理想整環；
2. A的每個素理想都是主理想；
3. A存在Dedekind–Hasse範數。

主理想整環整環

一個非零環R叫做一個整環（integral domain），整環是抽象代數中最基本的概念之一。
對任意的a,b屬於環R，假如：
1、乘法適合交換律ab=ba；
2、R有單位元e；
3、R沒有零因子，即ab=0可得a=0或b=0，
則R是整環。
參考資料
  • 1.    王元，文蘭，陳木法．數學大辭典：科學出版社，2010
  • 2.    Jonathan Rosenberg．代數K理論及其應用：Springer，1996
  • 3.    Steven Roman．高等線性代數 第3版：Springer，2000