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多項式環
鎖定
多項式環定義
多項式函數與多項式
在初等數學與微積分中,多項式視同多項式函數,兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之,考慮有限域
上的多項式
此多項式代任何值皆零,故給出零函數,但其形式表法非零。
我們寧願將多項式看作形式的符號組合,以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質:就函數觀點,多項式函數在域擴張下的行為頗覆雜,上述
給出
上的零函數,但視為
上的多項式函數則非零;而就形式觀點,只須將係數嵌入擴張域即可。
多項式環形式定義
於是我們採取下述定義:令R為環。一個單變元X的多項式P(X)定義為下述形式化的表法:
[1]
其中
∈R,稱作P(X)的係數,而X視作一個形式符號。兩多項式相等當且僅當每個
均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的首項係數。
更嚴謹的説法或許是將多項式定義為係數的序列
,使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元X及其冪次表達。
多項式環多項式的運算
以下固定環 R,我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。
多項式環環結構
分配律:對所有R上的多項式
,恆有
對所有
,有
對所有非負整數
,有
運算的具體表法如下:
當 R 是交換環時,R[X] 是個 R 上的代數。
多項式環多項式的合成
設
而Q(X) 為另一多項式,則可定義兩者的合成為
多項式環求值
對於任一多項式
及
,我們可考慮 P(X) 對r的求值:
固定
,則得到一個環同態
,稱作求值同態;此外它還滿足
多項式環導數
在微積分中,多項式的微分由微分法則
確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性,我們仍然可形式地定義多項式的導數為:
這種導數依然滿足
與
等性質。對於係數在域上的多項式,導數也可以判定重根存在與否。
多項式環多變元的情形
上述定義可以推廣到任意個變元(包括無限個變元)的情形。對於有限變元的多項式環
,也可以採下述構造:
先考慮兩個變元 X,Y 的例子,我們可以先構造多項式環R[X],其次構造
。可以證明有自然同構
,例如多項式
也可以視作
對
亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。
多項式環性質
若R是交換環,則R[X]亦然。
若R是唯一因子分解環,則R[X]亦然。
若R是整環,則R[X]亦然。
任一個交換環R上的有限生成代數皆可表成某個
的商環。
多項式環數學中的角色
弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環,此環的乘法系採用多項式的合成而非乘法。