自由對象

在數學中，自由對象的概念是抽象代數的基本概念之一。它是泛代數的一部分，在某種意義上它涉及到所有類型的代數結構。它在範疇論方面也有一個公式，儘管那是更為抽象的術語。示例包括自由羣、張量代數或自由格。不太正式地説，在一個集合a上的自由對象可以被認為是一個在a裏面的“一般的”代數結構：在自由對象的元素之間唯一的方程式是那些從代數結構的定義公理中隨之而來的方程式。 ^[1] 

自由對象是指向量空間中基礎概念的直接泛化。在向量空間裏的一個線性函數u：E₁→E₂是完全由其在向量空間E1的基決定的。相反，用向量空間E₁的基來定義的一個函數u：E₁→E₂可以唯一地擴展成一個線性函數。下面的定義將此轉換為其它範疇。 ^[2] 

令(C、F)是一個具體的類別(例如F：C。令X是一個集合(稱為基)，A∈C是一個對象，i：X→F(a)集之間的一個映射。如果它們滿足下面的通用性質，我們説A是X上的自由對象(關於i)：

B和任何任何對象之間的映射f：X→F(B)：存在一個唯一射g：A→B，f = f(g)∘i。也就是説：

這樣，從集合X中構建自由對象A的自由函數就變成了可遺函子的伴隨算子。

自由對象的創建分為兩個步驟。第一步是把所有的代數語句形成集。然後將一組等價關係加在此語句上，這個等價關係是給代數對象定義的關係。然後，自由對象由等價類的集合組成。

例如，考慮兩個自由集。一個是由五個字母組成的代數

。在第一步中，並沒有任何分配意義給字母

，這些將在後面的步驟中給出。因此，同樣另外一個是

。在本例中，所有字母或字符串W(S)的集合將包括諸如aebecede和abdc等字符串，以及任意有限長度的字符串，這些字符串以各種可能的順序排列。

在接下來的步驟中，我們將設置一組等價關係。一羣的等價關係是乘法，

=如= g，它的逆是

。將這些關係應用於上面的字符串，就可以得到

可以知道c替代了a^-1，d替代了b^-1，而e是單位元素。同樣，還有

在此基礎上，自有物體就變成了語句等價類的集，因此，在這個例子中，

這經常被寫成

在一般情況下，代數關係不必是關聯式的，在這種情況下，起始點不是所有語句的集，而是用圓括號來表示，用括號來表示字母的非結合羣。這種可以用二叉樹表示，這棵樹的葉子是字母。

代數關係在樹的葉子上可能是單一的關係。與其從所有可能的圓括號字符串的集合開始，不如從Herbrand的普遍的開始更方便。適當地描述或枚舉一個自由對象的內容可以是簡單的或困難的，這取決於問題中特定的代數對象。

如示例所示，自由對象看起來像語法結構，在某種程度上，人們可能會説，語法的主要用途可以被解釋和描述為自由對象，這在某種程度上使得“標點”很明顯可以解釋(而且更令人難忘)。

一個自由對象的最普遍的處理是在範疇論中，其中定義了一個函數，一個自由函子。

考慮代數結構的C類，這些可以被看作是集合加上運算，服從一些定律。這個類別有一個函數，

，這個可遺函子，它將C中的對象和函數映射到集合。可遺函子非常簡單：它只是忽略了所有的運算。

自由函子F，當它存在且是U的左伴隨，也就是説，

是集X在相應的自由對象集F(X)的類別集合。X可以認為是自由對象的集合F(X)的集。