主理想環

一個環I叫做一個主理想環，假如I的每一個理想都是一個主理想。 ^[2] 

設A為整環，那麼下面的條件等價：

1. A是主理想整環

2. A的每個素理想都是主理想

3. A存在Dedekind–Hasse範數

定理一 主理想環D上的真因子序列 ^[1] 

，

，…，

，......(其中

是

的真因子)

是一個有限序列。

定理二 主理想環中不可約元生成的理想是極大理想。

定理三 主理想整環是唯一因子分解整環。

定理四 在主理想環D中，設d是a，b的最大公因子，則<a,b>=<d>。

推論1 在主理想環D中，設d是a，b的最大公因子，則∃u,v∈D使得：au+bv=d。

定理五 （唯一分解性）設R為一主理想環，那麼對任意非零元a∈R能夠被惟一的分解為

，這裏u 為可逆元，

為所選的素元，並且

。在不考慮置換的條件下，這個分解是唯一的。

證明：首先，我們證明分解的存在性。如果a是可逆的，定理平凡成立。否則，令P是包含

的極大理想， 那麼有

，其中

為素元並且

。如果

不可逆，則用

替換a可得

，其中

為 素元。重複上面的過程直到

可逆為止。如果上面的過程是有限的，那麼我們有

，（其中u可逆）。

否則必存在理想無窮上升鏈

⊂

⊂

⊂

⊂ . . . 。令

，則易知

也為理 想，由R為主理想環知

且b屬於某個

，但這將有

⊇

所以

，此為矛盾！ 所以分解一定是有限的。

唯一性用類似整數分解唯一性的證明方法可得。

整數環是主理想環，更一般地説，歐幾里德環恆為主理想環。

域上的多項式環是主理想環。

高斯整數環是主理想環。

艾森斯坦整數環是主理想環，其中 ω 為任一非 1 的三次單位根。

環 非主理想環：可以證明理想無法由單個元素生成。

例 域F上的一元多項式環F[x]是主理想環。 ^[1] 

證明： 設I是F[x]的任一理想，若I是零理想，則I=<0>。若I不是零理想，則在F[x]中存在次數最低的多項式p(x)，使得<p(x)>⊆I。

對於∀ f(x)∈I，由帶餘除法知

f(x)=p(x)q(x)+r(x)其中r(x)=0或

(r(x))<

(p(x))。

因為f(x)∈I，p(x)∈<p(x)>⊆I，所以r(x)∈I。由假設p(x)是I中次數最低者，有r(x)=0.從而f(x)=p(x)q(x)∈<p(x)>。所以I⊆<p(x)>，又<p(x)>⊆I，則得I=<p(x)>。即F[x]的每個理想都是主理想，所以F[x]是主理想環。證畢。