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素元
鎖定
素元定義
交換環R 的元素 p 被稱為素元,若該元素不為 0 或單位元,且若 p整除ab(a 與 b 為 R 內的元素),則 p 整除 a 或 p 整除 b。等價地説,一元素 p 為素元,當且僅當由 p 產生的主理想(p) 為非零素理想。
一個元素是否為素元,取決於該元素處於哪個環內;例如,2在 Z 裏是個素元,但在高斯整數環 Z[i] 裏則不是,因為 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 無法整除等式右邊的任一因子。
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素元整環
一個環是一個集合 A 以及它上面的兩種運算,分別稱為“加法”(+)和“乘法”(*),滿足以下條件:
1、A 關於加法成為一個 Abel 羣(其零元素記作 0);
2、乘法滿足結合律:(a * b) * c = a * (b * c);
3、乘法對加法滿足分配律:a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c;
如果環 A 還滿足以下乘法交換律,則稱為“交換環”:
4、乘法交換律:a * b = b * a。
如果交換環 A 還滿足以下兩條件,就稱為“整環”:
5、A 中存在非零的乘法單位元,即存在 A 中的一個元素,記作 1,滿足:1 不等於 0,且對任意 a,有:1 * a = a * 1 = a;
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例:
1、整數環是整環。
2、整環上的多項式環仍是整環。
3、當 n>1 時,任意環上的n階矩陣環不是整環。
素元與素理想
一非零主理想為素理想,當且僅當該主理想由一素元所產生。