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高斯整數環

高斯整數環(ring of Gauss integers)是歐氏環的一個著名例子。設Z[i]={a+bi | a,b是整數，i為虛數單位}。 Z[i]對通常數的加法和乘法構成一個整環，稱為高斯整數環。而將a +bi → a²+b²是從Z[i]\{0}到非負整數集的映射，並且這個映射滿足歐氏環定義的條件，因此，Z[i]也是歐氏環。^[1]

中文名: 高斯整數環
外文名: ring of Gauss integers
類別: 歐式環的一個著名例子

定義: Z[i]對通常數的加乘法構成個整環
一級學科: 數學
二級學科: 環與代數
類型: 數學術語

高斯整數環簡介

形如

的數稱為高斯整數，是高斯在研究二次不定方程時首先提出的。記

，可以證明

關於數的加法和乘法做成交換環，我們稱之為高斯整數環。另外，將高斯整數環推廣到

的情形，稱為高斯整數環的推廣環。^[2]

高斯整數環是一種構造特殊且具有一定代表性的環，在代數環論中佔有重要的地位。既融入了環論的思想，同時亦包含有數論的思想，對於高斯整數環的研究一直是國內外學者的重要課題之一，數學家們通過多年的研究，得出了許多重要且富有意義的結論。^[3]

高斯整數環基本性質

（1）高斯整數環是歐幾里德整環。

（2）高斯整數環是主理想整環。

（3）高斯整數環是唯一因式分解整環R，滿足下列兩個條件：

①因子鏈條件成立，即如果序列中

，每一個

是

的真因子，則這個序列是有限序列；

②每一個不可約元都是素元，則R是唯一因式分解整環。^[3]

高斯整數環高斯整數環中素元的形成

高斯整數環Z[i]中的單位

中的單位只有±1，±i 四個元素。^[3]

高斯整數環Z[i]中的素元

中的素元當且僅當是不可約元。^[3]

高斯整數環Z[i]中的整數素元

對於環 Z[i]，它的元素可分為兩部分，一部分是整數，另一部分是形如 a+bi（b≠0）的元素。首先討論整數集 Z中的素元。Z 中的非素數肯定不是 Z[i]中的素元，因為 Z[i]中的素元要求除本身及單位外無其他因子，故只有素數才可能是 Z[i]中的素元。但並非 Z中的一切素數都是 Z[i]中的素元，例如素數 2在Z[i]中可分解為

，1±i 都不是 2的相伴元，顯然它不是 Z[i]中的素元。一般的，除 2外，其他素數都可以寫成 4n+1 與4n+3 的形式，有如下定理：