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旋轉矩陣

旋轉矩陣（英語：Rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果並保持了手性的矩陣。旋轉矩陣不包括點反演，點反演可以改變手性，也就是把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。旋轉可分為主動旋轉與被動旋轉。主動旋轉是指將向量逆時針圍繞旋轉軸所做出的旋轉。被動旋轉是對座標軸本身進行的逆時針旋轉，它相當於主動旋轉的逆操作。^[1]

中文名: 旋轉矩陣
外文名: Rotation matrix
學科: 數學

研究者: 底特羅夫
分為: 主動旋轉與被動旋轉
相關術語: 正交矩陣

旋轉矩陣簡介

旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。其最古老的數學命題是寇克曼女生問題：

某教員打算這樣安排她班上的十五名女生散步：散步時三女生為一組，共五組。問能否在一週內每日安排一次散步，使得每兩名女生在一週內一道散步恰好一次？寇克曼於1847年提出了該問題，過了100多年後，對於一般形式的寇克曼問題的存在性才徹底解決。用1~15這15個數字分別代表15個女生，其中的一組符合要求的分組方法是：

星期日：（1，2，3），（4，8，12），（5，10，15），（6，11，13），（7，9，14）

星期一：（1，4，5），（2，8，10），（3，13，14），（6，9，15），（7，11，12）

星期二：（1，6，7），（2，9，11），（3，12，15），（4，10，14），（5，8，13）

星期三：（1，8，9），（2，12，14），（3，5，6），（4，11，15），（7，10，13）

星期四：（1，10，11），（2，13，15），（3，4，7），（5，9，12），（6，8，14）

星期五：（1，12，13），（2，4，6），（3，9，10），（5，11，14），（7，8，15）

星期六：（1，14，15），（2，5，7），（3，8，11），（4，9，13），（6，10，12）

旋轉矩陣歷史

Patric Ostergard

他的主要貢獻是用了全新的模擬退火算法解決了旋轉矩陣的構造問題，運用他的模擬退火程序，可以很迅速的產生許許多多的旋轉矩陣。

Alex Sidorenko

他研究出了許多旋轉矩陣和幾種產生旋轉矩陣的基於禿嶺瀏覽的一般方法。

Greg Kuperberg

他注意到線性的[v,t]編碼的補集可以給出區組長度不定的覆蓋設計，而這可以產生對現有的旋轉矩陣的一系列改進。

Dan Gordon

他收集的旋轉矩陣是迄今為止最全面，最權威的。

旋轉矩陣性質

設

是任何維的一般旋轉矩陣:

（1）兩個向量的點積(內積)在它們都被一個旋轉矩陣操作之後保持不變:^[2]

（2）從而得出旋轉矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣:

這裏的

是單位矩陣。

（3）一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣並且它的行列式是單位一。正交矩陣的行列式是 ±1；如果行列式是 −1，則它包含了一個反射而不是真旋轉矩陣。

（4）旋轉矩陣是正交矩陣，如果它的列向量形成

的一個正交基，就是説在任何兩個列向量之間的標量積是零(正交性)而每個列向量的大小是單位一(單位向量)。

（5）任何旋轉向量可以表示為斜對稱矩陣A的指數:

這裏的指數是以泰勒級數定義的而

是以矩陣乘法定義的。A矩陣叫做旋轉的“生成元”。旋轉矩陣的李代數是它的生成元的代數，它就是斜對稱矩陣的代數。生成元可以通過 M 的矩陣對數來找到。

旋轉矩陣二維空間

在二維空間中，旋轉可以用一個單一的角

定義。作為約定，正角表示逆時針旋轉。把笛卡爾座標的列向量關於原點逆時針旋轉

的矩陣是：

旋轉矩陣三維空間

在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位1的實特徵值。旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉(歐拉旋轉定理)。如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個(複數)特徵值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉的跡數等於 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。

3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個是實數就可以指定一個 3 維旋轉矩陣。