歐拉旋轉定理

根據歐拉旋轉定理，歐拉旋轉定理Euler's rotation theorem中任何兩個座標系的相對定向，可以由一組四個數字來設定；其中三個數字是方向餘弦，用來設定特徵矢量（固定軸）；第四個數字是繞着固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為四元數。

如上所描述的四元數，並不介入複數。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉，則必須使用由威廉·哈密頓提出的非交換四元數代數以複數來計算。

用數學術語，在三維空間內，任何共原點的兩個座標系之間的關係，是一個繞着包含原點的固定軸的旋轉。這也意味着，兩個旋轉矩陣的乘積還是旋轉矩陣。一個不是單位矩陣的旋轉矩陣必有一個實值的本徵值，而這本徵值是 1 。 對應於這本徵值的本徵矢量就是旋轉所環繞的固定軸。

假設單位矢量(x,y,z)是旋轉的瞬時固定軸，繞着這固定軸，旋轉微小角值△θ，則取至△θ的一次方。

繞着固定軸做一個 角值的旋轉，可以被視為許多繞着同樣固定軸的接連不斷的微小旋轉，每一個小旋轉的角值為△θ=θ/N 。讓N趨向無窮大，則繞着固定軸θ角值的旋轉。

歐拉旋轉定理基要地闡明，所有的旋轉都能以這形式來表達。乘積Aθ是這個旋轉的生成元。用生成元來分析，而不用整個旋轉矩陣，通常是較簡易的方法。用生成元來分析的學術領域，稱為旋轉羣的李代數。

根據歐拉旋轉定理，任何兩個座標系的相對定向，可以由一組四個數字來設定；其中三個數字是方向餘弦，用來設定特徵矢量（固定軸）；第四個數字是繞着固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為四元數。

如上所描述的四元數，並不介入複數。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉，則必須使用由威廉·哈密頓提出的非交換四元數代數以複數來計算。

在航空學應用方面，通過四元數方法來計算旋轉，已經替代了方向餘弦方法，這是因為它能減少所需的工作，和它能減小舍入誤差。在 電腦圖形學 裏，四元數與四元數之間，簡易執行插值的能力是很有價值的。

設

是原來的座標系，

是座標系旋轉

（弧度）角後的新座標系（逆時針旋轉時

為正角）。試點

在座標系

中的座標為

，在座標系

中的座標為

。

作

分別垂直於

軸，

軸，

為垂足，連接

，則

這就是用新座標表示原座標。

這就是用原座標表示新座標。

由旋轉公式可得：

一條直線

繞原點順（逆）時針旋轉

弧度可看成座標軸逆時針旋轉

弧度

經整理得：

把直線

繞原點逆時針旋轉

（或

）所得的直線的解析式是