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跡數
鎖定
- 中文名
- 跡數
- 外文名
- Trace
- 別 名
- 跡
跡數簡介
跡數例子
設有矩陣:
跡數性質
跡數矩陣乘積的跡數
設A是一個
矩陣,B是個
矩陣,則:
其中
是一個
矩陣,而
是一個
矩陣。
上述的性質可以由矩陣乘法的定義證明:
如果
和
都是
的方形矩陣,那麼它們的乘積
和
也會是方形矩陣。因此,利用這個結果,可以推導出:計算若干個同樣大小的方形矩陣的乘積的跡數時,可以循環改變乘積中方形矩陣相乘的順序,而最終的結果不變。例如,有三個方形矩陣
、
和
,則:
但是要注意:
更一般地,乘積中的矩陣不一定要是方形矩陣,只要某一個循環改變後的乘積依然存在,那麼得到的跡數依然會和原來的跡數相同。
跡數跡數的相似不變性
2.因此
跡數矩陣跡數和特徵多項式
跡數矩陣跡數與特徵值
如果不區分相同或不同的特徵值的話,上述關係也可以寫成:
其中的
是矩陣的特徵值。 而且有:
跡數線性映射的跡數
另外一種定義涉及到行列式的性質。考慮
的一個基底
,以及函數:
根據行列式理論,這個函數也是一個行列式型的函數,也就是説存在一個只取決於
的量
,使得
跡數跡的梯度
由跡的定義可知跡可以看作是矩陣的實標量函數,所以我們可以通過求實標量函數的梯度來求跡的梯度。
跡數單個矩陣
A是m×m矩陣時,有
m×m矩陣A可逆時,有
對於兩個向量x和y的外積,有
跡數兩個矩陣
若A為m×n矩陣,有
若A為m×m矩陣,有
若A為m×n矩陣,B是m×n矩陣,有
若A為m×n矩陣,B是n×m矩陣,有
當A和B均為對稱矩陣時,有
若A和B都是m×m矩陣,並且B是非奇異矩陣,有