特徵值

特徵值是指設

是n階方陣，如果存在數

和非零n維列向量

，使得

成立，則稱

是

的一個特徵值(characteristic value)或本徵值(eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣

的屬於（對應於）特徵值

的特徵向量或本徵向量，簡稱

的特徵向量或

的本徵向量。

設

為n階矩陣，若存在常數

及 n維非零向量

，使得

，則稱

是矩陣

的特徵值，

是

屬於特徵值

的特徵向量。 ^[1] 

的所有特徵值的全體，叫做

的譜，記為

.

如將特徵值的取值擴展到複數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：

其中

和

為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）

可以通過求解方程

，得到

（其中

即行列式）構成形如

的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項，稱為一個“叢(pencil)”。

若

可逆，則原關係式可以寫作

，也即標準的特徵值問題。當

為非可逆矩陣（無法進行逆變換）時，廣義特徵值問題應該以其原始表述來求解。

如果A和B是實對稱矩陣，則特徵值為實數。這在上面的第二種等價關係式表述中並不明顯，因為

矩陣未必是對稱的。

求n階矩陣

的特徵值的基本方法：

根據定義可改寫為關係式

，

為單位矩陣（其形式為主對角線元素為

，其餘元素乘以-1）。要求向量

具有非零解，即求齊次線性方程組

有非零解的值

。即要求行列式

。 解此行列式獲得的

值即為矩陣A的特徵值。將此值回代入原式求得相應的

，即為輸入這個行列式的特徵向量。

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式；

第二步：求出特徵方程的全部根，即為全部特徵值；

第三步：對於每一個特徵值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則屬於特徵值的全部特徵向量是不全為零的任意實數。

[注]：特徵向量不能由特徵值惟一確定。反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。

設

為n階矩陣，根據關係式

，可寫出

，繼而寫出特徵多項式

，可求出矩陣A有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值

代入原特徵多項式，求解方程

，所求解向量

就是對應的特徵值

的特徵向量。

設有n階矩陣

和

，若

和

相似

，則有：

1、

的特徵值與

的特徵值相同——

，特別地，

，

為

的對角矩陣；

2、

的特徵多項式與

的特徵多項式相同——

；

3、

的跡等於

的跡——

（或

），即主對角線上元素的和；

4、

的行列式值等於

的行列式值——

；

5、

的秩等於

的秩——

。 ^[1] 

因而A與B的特徵值是否相同是判斷

與

是否相似的根本依據。

矩陣可對角化有兩個充要條件：1、矩陣有n個不同的特徵向量；2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件，則需要出現二重以上的重特徵值可驗證（一重相當於沒有重根）。 ^[1] 

若矩陣

可對角化，則其對角矩陣Λ的主對角線元素全部為

的特徵值，其餘元素全部為0。（一個矩陣的對角陣不唯一，其特徵值可以換序，但都存在由對應特徵向量順序組成的可逆矩陣

使

）

量子力學：

設

是向量空間的一個線性變換，如果空間中某一非零向量通過

變換後所得到的向量和

僅差一個常數因子，即

，則稱

為

的特徵值，

稱為

的屬於特徵值

的特徵向量或特徵矢量(eigenvector)。如在求解薛定諤波動方程時，在波函數滿足單值、有限、連續性和歸一化條件下，勢場中運動粒子的總能量(正)所必須取的特定值，這些值就是正的本徵值。

設

是n階方陣，

是單位矩陣， 如果存在一個數

使得

是奇異矩陣（即不可逆矩陣， 亦即行列式為零）， 那麼

稱為

的特徵值。

在

變換的作用下，向量

僅僅在尺度上變為原來的

倍。稱

是

的一個特徵向量，

是對應的特徵值（本徵值），是（實驗中）能測得出來的量，與之對應在量子力學理論中，很多量並不能得以測量，當然，其他理論領域也有這一現象。