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斜對稱矩陣

鎖定
設M是方陣， 如果它的轉置M^t加上它本身恰好是零矩陣，那麼就稱M是斜對稱矩陣。斜對稱矩陣也可以稱為反對稱矩陣或交錯矩陣。斜對稱矩陣具有性質：數域P上的斜對稱矩陣的主對角元全是零；數域P上的n級斜對稱矩陣A，如果n是奇數，則|A|=0，因此數域P上的奇數級斜對稱矩陣一定是奇異的（即不可逆的）。
中文名
斜對稱矩陣
外文名
skew symmetric matrix
別    名
交錯矩陣，反對稱矩陣
屬    性
矩陣
特    點
主對角線所有元素為零
應用領域
矩陣理論

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 運算性質
  3. ▪ 和運算
  1. ▪ 數乘運算
  2. ▪ 冪次運算
  3. ▪ 逆運算
  4. ▪ 伴隨運算
  1. 3 定理
  2. ▪ 定理1
  3. ▪ 定理2

斜對稱矩陣定義

設
， 如果
，即
，則稱A為斜對稱矩陣（也稱為反對稱矩陣）。 [1]  斜對稱矩陣的主對角線所有元素為零，因為
，所以
。 [2] 
例如：

斜對稱矩陣運算性質

斜對稱矩陣和運算

設
是斜對稱矩陣，則A+B為斜對稱矩陣。 [1] 
證明：設A,B為斜對稱矩陣，所以有
。
易得
，因此A+B為斜對稱矩陣。

斜對稱矩陣數乘運算

設
是斜對稱矩陣，則
為斜對稱矩陣。 [1] 
證明：設A為斜對稱矩陣，所以有
。
易得
，因此kA為斜對稱矩陣。

斜對稱矩陣冪次運算

設
是斜對稱矩陣。
（1）當k為偶數時，
為對稱矩陣；
（2）當k為奇數時，
為斜對稱矩陣。 [1] 

斜對稱矩陣逆運算

設
是斜對稱矩陣，若
，則
仍為斜對稱矩陣。

斜對稱矩陣伴隨運算

設
是斜對稱矩陣。
（1）當n為偶數時，adjA為斜對稱矩陣；
（2）當k為奇數時，adjA為對稱矩陣。 [1] 
證明：設A為斜對稱矩陣，所以有
。
故有當n為偶數時，得
，即為斜對稱矩陣；當n為奇數時，有
，即為對稱矩陣。

斜對稱矩陣定理

斜對稱矩陣定理1

任意方陣A均可以表示成為一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和。 [1] 
證明：設A為任意方陣，易得
令
則有
，即B是一個對稱矩陣，C是一個斜對稱矩陣，故命題成立。

斜對稱矩陣定理2

設
是中心斜對稱矩陣，則有：
（1）S可以表示成
其中
。
（2）
。 [3] 
參考資料
  • 1.    王耕祿 史榮昌編著．矩陣理論．北京：國防工業出版社，1988：52-53
  • 2.    （美）尼薩·拉培·伍 傑克·安廷·伍．現代實用管理學入門．北京：科學技術文獻出版社，1989：14-14
  • 3.    陳景良 陳向暉編著．特殊矩陣．北京：清華大學出版社，2001：401-401