複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/反對稱矩陣/9063240
複製
複製成功

反對稱矩陣

鎖定
設A為n維方陣，若有A'=-A，則稱矩陣A為反對稱矩陣。對於反對稱矩陣，它的主對角線上的元素全為零，而位於主對角線兩側對稱的元素反號。反對稱矩陣具有很多良好的性質，如若A為反對稱矩陣，則A'，λA均為反對稱矩陣；若A,B均為反對稱矩陣，則A±B也為反對稱矩陣；設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣；奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。 [4] 
中文名
反對稱矩陣
外文名
Skew-symmetric matrix
相關矩陣
對稱矩陣
類    別
線性代數
特    點
A(i,j)=-A(j,i)
應用領域
高等數學
類    型
線性代數術語

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 基本性質
  3. ▪ 性質1
  1. ▪ 性質2
  2. ▪ 性質3
  3. ▪ 注意事項
  4. 3 定理及其證明
  1. ▪ 定理1
  2. ▪ 定理2

反對稱矩陣定義

設
，若其中元素滿足
，則稱A是對稱矩陣；若其元素滿足
，則稱A為反對稱矩陣。 [1] 
若A是反對稱矩陣，則
，當
時，便有
，即反對稱矩陣主對角線上的元素全為零，而位於主對角線兩側對稱的元素反號。

反對稱矩陣基本性質

反對稱矩陣性質1

設A,B為反對稱矩陣，則A±B仍為反對稱矩陣。 [1] 
證明過程：
設A,B為反對稱矩陣，即有
則
至此，根據反對稱矩陣的定義可得，A±B為反對稱矩陣。

反對稱矩陣性質2

設A為反對稱矩陣，則
仍為反對稱矩陣。 [1] 
證明過程：
設A為反對稱矩陣，即有
則有
至此，根據反對稱矩陣的定義可得，
仍為反對稱矩陣。

反對稱矩陣性質3

設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣。 [2] 
證明過程：
已知A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，即有
故有：
至此，根據反對稱矩陣的定義可得，AB-BA為對稱矩陣。 [2] 

反對稱矩陣注意事項

（1）設A,B為反對稱矩陣，AB不一定是反對稱矩陣。 [1] 
（2）設A為反對稱矩陣，若A的階數為奇數，則A的行列式為0；A的階數為偶數，則根據具體情況計算。

反對稱矩陣定理及其證明

反對稱矩陣定理1

奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。 [3] 
證明過程：
設A為反對稱矩陣，即有
故有
當n為奇數時，就由
，於是
。 [3] 

反對稱矩陣定理2

反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。 [4] 
證明：
（1）設實反對稱矩陣A的特徵值
，相應的特徵值向量
，其中u，v是實向量。那麼由
得到
即
分別等置兩邊的實部和虛部得到
於是
因為
（內積），所以上二式相加得到
又因為
，所以
從而
。類似地可以知道
。因此
於是由
推出a=0，從而
。
（2）由（1）中可得
，所以
，即
於是
因為
，所以
。
此外。由
以及
可知
，即u，v正交。 [4] 
參考資料
  • 1.    劉金旺主審；李世羣主編；丁愛霞，劉東海，陳建華，李德瓊副主編．線性代數隨堂解惑與考研指導．江蘇：東南大學出版社，2015：34-34
  • 2.    毛綱源編著．線性代數解題方法技巧歸納．武漢：華中技術大學出版社，2010：97-97
  • 3.    宋開泰等編．高等數學教程．武漢：武漢大學出版社，1998：62-62
  • 4.    朱堯辰編著．高等代數例選．哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2015：314-320