歐拉角

歐拉角是用來唯一地確定定點轉動剛體位置的三個一組獨立角參量，由章動角θ、進動角ψ和自轉角φ組成，為L.歐拉首先提出，故得名。它們有多種取法，下面是常見的一種。

如圖1所示，由定點O作出固定座標系Oxyz以及固連於剛體的座標系Ox'y'z'。以軸Oz和Oz'為基本軸，其垂直面Oxy和Ox'y'為基本平面，由軸Oz量到Oz'的角度θ稱為章動角。平面zOz'的垂線ON稱為節線，它又是基本平面Ox'y'和Oxy的交線。在右手座標系中，由ON的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸Ox量到節線ON的角度ψ稱為進動角，由節線ON量到動軸Ox'的角度φ稱為自轉角。由軸Oz和Oz'正端看，角ψ和φ也都按逆時針方向計量。歐拉角（ψ,θ,φ）的名稱來源於天文學。

三個歐拉角是不對稱的，在幾個特殊位置上具有不確定性（當θ=0時，φ和ψ就分不開）。對不同的問題，宜取不同的軸作基本軸，並按不同的方式量取歐拉角。

若令Ox'y'z'的原始位置重合於Oxyz，經過相繼繞Oz、ON和Oz'的三次轉動Z（ψ）、N（θ）、Z'（φ）後，剛體將轉到圖示的任意位置（見剛體定點轉動）。變換關係可寫為：

R（ψ,θ,φ）=Z（ψ）N（θ）Z‘（φ），

式中R、Z'、N、Z是轉動算子，並可用矩陣表示如下：

剛體上任一點Q在兩個座標系中的座標x、y、z和x'、y'、z'都可以通過矢徑的模和方向餘弦來表出。兩組座標之間有如下變換關係：

反變換隻須在同名座標間對調記號。

如果剛體繞通過定點O的某一軸線以角速度ω轉動，而ω在與剛體固連的活動座標系Ox'y'z'上的投影為ω_x'、ω_y'、ω_z'，則它們可用歐拉角及其微商表示如下：

由上式可以看出，如果已知ψ、θ、φ和時間的關係，則可用上式計算角速度ω在活動座標軸上的三個分量；反之，如在任一瞬時已知t和ω的各個分量，也可利用上式求出ψ、θ、φ和時間t的關係，因而也就決定了剛體的運動。我們通常把上式叫做歐拉運動學方程。 ^[1] 

靜態定義

對於在三維空間裏的一個參考系，任何座標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系，是靜止不動的。而座標系則固定於剛體，隨着剛體的旋轉而旋轉。

參閲右圖2。設定 xyz-軸為參考系的參考軸。稱 xy-平面與 XY-平面的相交為交點線，用英文字母（N）代表。zxz 順規的歐拉角可以靜態地這樣定義：

α 是 x-軸與交點線的夾角，β 是 z-軸與Z-軸的夾角，γ 是交點線與X-軸的夾角。

很可惜地，對於夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。

實際上，有許多方法可以設定兩個座標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此，使用歐拉角前，必須先做好明確的定義。

動態定義

我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞着固定於剛體的座標軸的三個旋轉的複合；另外一種是繞着實驗室參考軸的三個旋轉的複合。用動態的定義，我們能更瞭解，歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意，以下的描述，XYZ 座標軸是旋轉的剛體座標軸；而 xyz 座標軸是靜止不動的實驗室參考軸。

歐拉角Eulerian angles用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量，由章動角 θ、旋進角（即進動角）ψ和自轉角j組成。為歐拉首先提出而得名。它們有多種取法，下面是常見的一種。如圖3所示，由定點O作出固定座標系 Oxyz和固連於剛體的動座標系Ox′y′z′。以軸Oz和Oz′為基本軸，其垂直面Oxy和Ox′y′為基本平面。由軸Oz量到Oz′的角θ稱章動角。平面zOz′的垂線ON稱節線，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交線。在右手座標系中，由 ON 的正端看，角θ應按逆時針方向計量。由固定軸 Ox 量到節線ON的角ψ稱旋進角；由節線ON量到動軸Ox′的角j稱自轉角。由軸 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆時針方向計量。若令 Ox′y′z′的初始位置與 Oxyz 重合，經過相繼繞 Oz 、ON 和 Oz′的三次轉動後，剛體將轉到圖示的任意位置。如果剛體繞通過定點 O的某一軸線以角速度ω轉動，而ω在動座標系Ox′y′z′上的投影為ωx′、ωy′、ωz′，則它們可用歐拉角及其微商表示如下：ωx′ =sinθsinj+cosj，ωy′= sinθcosj－sinj，ωz′=cosθ+。如果已知 ψ、θ、j和時間的關係，則可用上式計算ω在動座標軸上的 3個分量；反之，如已知任一瞬時t的ω各個分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和時間t的關係，因而也就決定了剛體的運動。上式通常被稱為歐拉運動學方程。

歐拉角在SO(3)上，形成了一個座標卡(chart) ；SO(3)是在三維空間裏的旋轉的特殊正交羣。這座標卡是平滑的，除了一個極座標式的奇點在 β=0　。

類似的三個角的分解也可以應用到SU(2)；複數二維空間裏旋轉的特殊酉羣；這裏， β值在0與2π之間。這些角也稱為歐拉角。

應用研究

歐拉角廣泛地被應用於經典力學中的剛體研究，與量子力學中的角動量研究。

在剛體的問題上，xyz座標系是全局座標系， XYZ 座標系是局部座標系。全局座標系是不動的；而局部座標系牢嵌於剛體內。關於動能的演算，通常用局部座標系比較簡易；因為，慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量（有九個分量，其中六個是獨立的）對角線化，那麼，會得到一組主軸，以及一個轉動慣量（只有三個分量）。

在量子力學裏， 詳盡的描述SO(3)的形式，對於精準的演算，是非常重要的，並且幾乎所有研究都採用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究，對於抽象羣理論方法（稱為Gruppenpest）物理學家與化學家仍舊持有極尖鋭的反對態度的時候；對歐拉角的信賴，在基本理論研究來説，是必要的。

歐拉角的哈爾測度

歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式 ，通常在前面添上歸一化因子π2 / 8。單位四元數，又稱歐拉參數，提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉羣的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷，概念上比較容易理解，並能避免一些技術上的問題，如萬向節鎖(gimbal lock) 現象。因為這些原因，許多高速度三維圖形程式製作都使用四元數。