哈爾測度

若局部緊羣G的非零拉東測度μ同時為左不變測度，則稱μ為左哈爾測度。 ^{[5]  [7]} 

若G為緊羣，則還需要附加條件μ(G)=1。 ^[8] 

任意局部緊羣均有左哈爾測度。

設G為局部緊羣，μ,ν為G的左哈爾測度。

存在c＞0，使得μ=cν。

對G的任意非空開集U，μ(U)＞0。

若G為緊羣，則μ(G)＜∞。 ^[7] 

局部緊廣羣

的哈爾測度為連續左不變測度族{t纖維

=t^-1(x)上的測度μ^x}。 ^[6] 

勒貝格測度為

上的左哈爾測度。 ^[7] 

哈爾測度(Haar measure)亦稱哈爾積分。定義在拓撲羣上的一種積分。從

到C上的正線性函數μ滿足μ(f)=μ(gf)，

g∈G，f∈

，其中

指G上的具有緊支集的正值連續函數全體。人們約定，稱復變量取正值，是指：若z∈R，則z>0。gf的定義為

。

關於拓撲羣的哈爾測度的基本定理是：一個局部緊的豪斯多夫拓撲羣上一定存在一個非零的哈爾測度，而且除了差一個正實數因子外，該測度是惟一的，並常用積分符號表達：μ(f)=∫_Gf(x)dx。

對任一G上的函數f，若μ(f)<∞，則稱f在G上可積。

用

表示局部緊豪斯多夫拓撲羣，G的所有開子集生成的σ域叫做博雷爾代數。博雷爾代數的一個元素叫做博雷爾集。如果g是G的一個元素，S是G的子集，那麼我們定義S的左右平移如下： ^[2] 

左平移：

右平移：

博雷爾子集G上的測度μ叫做左平移不變，如果對所有博雷爾子集S屬於G和所有g∈G有：

博雷爾子集G上的測度μ叫做右平移不變，如果對所有博雷爾子集S屬於G和所有g∈G有：

一些作者在Baire集上定義了哈爾度量，而不是博雷爾集。這就造成不必要的規律性條件，因為Baire的測度是自動的。Halmos使用了“博雷爾集”這一術語來解釋緊集生成的σ環，並在這些概念上定義了哈爾測度。

左哈爾測度滿足了所有σ有限博雷爾集的內部正則性條件，但對於所有的博雷爾集來説，它可能不具有內在規律。這個垂直段的緊湊型子集是有限集，點有度量，所以這個垂直段的任何緊湊型子集的度量。但是，使用外部規律性，可以顯示出該部分具有無限的度量。

一個左哈爾測量的存在和唯一性(向上縮放)首先被安德烈·韋伊(Andre Weil)充分證明。韋伊的證明使用了choice的公理，而Henri Cartan提供了一個避免使用的證明。Cartan的證明也同時確立了存在性和獨特性。Alfsen在1963年對Cartan的論點進行了簡化和完整的描述。在1933年由哈爾展示了對第二可數局部緊羣的不變測度的特殊情況。 ^[3] 

在數理統計中，哈爾度量用於先驗測度，這是緊湊型轉換的先驗概率。這些先前的措施被用來構建可接受的程序，通過對被Wald的貝葉斯程序(或貝葉斯程序的限制)的可接受程序的描述進行上訴。例如，對於一個帶有位置參數的分佈族，一個正確的哈爾度量結果在Pitman估計值中，這是最好的等變量。當左右的哈爾措施不同時，正確的度量通常是優先分配。對於正態分佈參數空間的仿射變換，正確的哈爾度量是Jeffreys先驗度量。不幸的是，即使是正確的Haar措施有時也會導致無用的先驗，不能被推薦用於實際使用，就像其他方法來構造先前的避免主觀信息的措施

在統計學中，哈爾度量的另一種用法是條件推理，即統計數據的抽樣分佈取決於數據的另一個統計數據。在不變量理論條件推理中，抽樣分佈是根據一組變換的不變量來進行的(關於定義的哈爾度量)。條件作用的結果有時取決於使用不變量的順序和最大不變的選擇，因此，一個不變性的統計原則不能選擇任何唯一的最佳條件統計量(如果存在的話);至少需要另一個原則。

對於非緊湊型人羣，統計學家使用amenable羣組來擴展哈爾測度結果。 ^[4] 

Alfred Haar(匈牙利語：Haar Alfred；1933年10月11日，布達佩斯——1933年3月16日，塞格德)是一位匈牙利數學家。1904年，他開始在哥廷根大學學習。他的博士學位受到大衞·希爾伯特的監督。哈爾測量，哈爾小波，和哈爾變換以他的名字命名。1912年至1919年，他在Kolozsvar的弗朗茨約瑟夫大學任教。與Frigyes Riesz一起，他使薩格德大學成為數學中心。他還和Riesz共同創立了《數學學報》。

他於1885年10月11日出生在布達佩斯，父母是IGNá和艾瑪·福斯。他於1903畢業於Fasori Evangélikus Gimnázium中學，在那裏他是rátz lászló學生。他在布達佩斯開始他的大學學習，後來又轉到G讀數學和科學。

在中學期間，他與中學學生k zépiskolai Matematikai Lapok的數學期刊合作，並贏得了國家電子電視台öánd數學競賽。他就讀於布達佩斯技術大學，作為化學工程的學生，但同年他搬到布達佩斯大學，一年後到了中的大學。他的博士研究由希爾伯特畢業於1909年6月。他的49頁論文研究了中的函數和球面函數的系統，介紹了目前廣泛使用的haar正交系統。同年，他想成為大學的一名私人教授。

1902，中的大學(克魯日)與Farkas Gyula和Riesz Frigyes一起邀請他成為教授，併成為“Quatitics”教授。後來，他的幾篇演講筆記後來成了書。在將特蘭西瓦尼亞割讓給羅馬尼亞的“中的條約”之後，大學不得不搬到新邊界內最接近的城市Szeged，在那裏，他與Riesz建立了數學中心，第一個國際公認的匈牙利數學期刊，“學報”，“Scientiarum”。 ^[1]