調和分析

調和分析是現代分析數學的核心領域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學家為之傾倒與奮鬥。按照華羅庚先生的説法，把已知函數展開成Fourier級數的運算就叫做調和分析。事實上，調和分析也正是從Fourier級數和Fourier變換理論的研究開始發展壯大的。從物理的觀點，調和分析就是要把信號表示為基本波“諷和子”的超位置疊加。 ^[2]  幾個世紀以來，調和分析已經形成了龐大的學科體系，並在數學、信息處理和量子力學等領域有着重要和深刻的應用。

調和分析的發展可以追溯到Fourier分析。近來調和分析發展的數學工具，例如小波變換和Gabor變換，都是某些場合(具有某種性質的空間，例如Bosov空間)中本質上最優的變換。調和分析已經成功地應用在發展泛函表示的新形式中，這些已經證明了調和分析具有重要的意義。Fourier變換和小波變換是應用於函數逼近的兩種典型工具。 ^[3] 

傅里葉級數：任何週期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的），後世稱傅里葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函數又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。

傅里葉變換：Fourier變換是用無窮區間上的復正弦基函數和信號的內積描述了信號中總的頻率分佈，它將原時域信號的研究轉換為在頻域上的Fourier係數的研究，Fourier分析是純頻域分析。只適用於確定性的平穩信號 ^[3] 

從應用角度來説，有效確定Fourier級數問題的運算稱為實用調和分析。有限調和分析是實用調和分析的主體框架，即從有限個數據所應計算的最恰當的項數的角度，從有限到有限的思想方法來解決實際問題的Fourier方法是有限調和分析的應用價值所在。再從物理的角度，人們可以發現量子力學中的測不準關係有着調和分析版的解釋，即Paley-Wiener定理所描述的非零緊支集廣義函數的Fourier變換沒有緊支集。

抽象調和分析是調和分析更深入的現代數學分支，即研究拓撲羣上的調和分析理論，特別是Fourier變換理論。Abel緊羣的Ponteyagin對偶理論是調和分析特徵在現代數學處理中的合適寫照。對一般的非Abel局部緊羣來説，調和分析是與酉羣的表示論密切相關的。經典卷積的Fourier變換是Fourier變換的乘積的性質可以通過對緊羣的Peter-Weyl定理有所昇華體現。當羣既非Abel又非緊羣時，一般的抽象調和分析理論還不是很完善。例如，是否此時存在Ptancherel定理的類似物還不知道．但是在許多特殊情況下，通過無窮維表示技術是可以分析一定的相關問題的。 ^[2]