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歐拉公式
鎖定
歐拉公式在不同的學科中有着不同的含義。
歐拉公式複變函數
歐拉公式(1張)
歐拉公式歐拉公式證明
設
那麼
,即
。
由上式可得
設
據模與輻角的定義及棣莫弗公式可得
即
由此可得
當a=0時,
,即
。
由此:
這個恆等式也叫做歐拉公式,它是數學裏最令人着迷的一個公式,它將數學裏最重要的幾個數字聯繫到了一起:兩個超越數:自然對數的底e,圓周率π;兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1;以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。
[2]
歐拉公式拓撲學
二維拓撲多面體的歐拉示性數可以用以下公式計算:
其中V、E和F分別是點、邊和麪的個數。 特別的有,對於所有和一個球面同胚的多面體,我們有
歐拉公式拓撲學證明
用數學歸納法證明
( 1)當 R= 2時 ,由説明 1,這兩個區域可想象為 以赤道為邊界的兩個半球面 ,赤道上有兩個“頂點” 將赤道分成兩條“邊界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;於是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。
( 2)設 R= m(m≥ 2)時歐拉定理成立 ,下面證明 R= m+ 1時歐拉定理也成立 。
由説明 2,我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個 區域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ,使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界後 ,地圖上只有 m 個區域了;在去掉 X 和 Y 之間的邊界後 ,若原該邊界兩端 的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點 ,則 該頂點保留 ,同時其他的邊界數不變;若原該邊界一 端或兩端的頂點現在成為 2條邊界的頂點 ,則去掉 該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界 。於 是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況:
①減少一個區域和一條邊界;
②減少一個區 域、一個頂點和兩條邊界;
③減少一個區域、兩個頂 點和三條邊界;
即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有“減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數”我們將上述過程反過來 (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ,就又成為 R= m+ 1的地圖了 ,在 這一過程中必然是“增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數”。
因此 ,若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ,則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對於任何正整數 R≥2,歐拉 定理成立。
[1]
.
柯西的證明
第一個歐拉公式的嚴格證明,由20歲的柯西給出,大致如下:
從多面體去掉一面,通過把去掉的面的邊互相拉遠,把所有剩下的面變成點和曲線的平面網絡。不失一般性,可以假設變形的邊繼續保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是,點,邊和麪的個數保持不變,和給定多面體的一樣(移去的面對應網絡的外部。)
- 若有一個多邊形面有3條邊以上,我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
- 除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和麪的個數各減一而保持頂點數不變。
- (逐個)除去所有和網絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。
推理證明
設想這個多面體是先有一個面,然後將其他各面一個接一個地添裝上去的.因為一共有F個面,因此要添(F-1)個面.
考察第Ⅰ個面,設它是n邊形,有n個頂點,n條邊,這時E=V,即稜數等於頂點數.
添上第Ⅱ個面後,因為一條稜與原來的稜重合,而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合,所以增加的稜數比增加的頂點數多1,因此,這時E=V+1.
以後每增添一個面,總是增加的稜數比增加的頂點數多1,例如
增添兩個面後,有關係E=V+2;
增添三個面後,有關係E=V+3;
……
增添(F-2)個面後,有關係E=V+ (F-2).
最後增添一個面後,就成為多面體,這時稜數和頂點數都沒有增加.因此,關係式仍為E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
這個公式叫做歐拉公式.它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。
[4]
歐拉公式分式
歐拉公式平面幾何
為了證明(1)式,我們現將它改成
(2)式左邊是點I對於⊙O的冪:過圓內任一點P的弦被P分成兩個部分,這兩個部分的乘積是一個定值,稱為P關於⊙O的冪。事實上,如果將OI延長交圓於E、F,那麼
因此,設AI交⊙O於M,則
因此,只需證明
或寫成比例式
為了證明(5)式,應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊;另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找,△IDA就是,D是內切圓與AC的切點。後一個也必須是直角三角形,所以一邊是直徑ML,另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。
容易證明
因此(5)式成立,從而(1)式成立。
因為
,所以由歐拉公式得出一個副產品,即
歐拉公式統計學
歐拉公式物理學
眾所周知,生活中處處存在着摩擦力,歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關係。現將歐拉這個頗有價值的公式列在這裏:
歐拉公式圖論
設G為n階m條邊r個面的連通平面圖,則n-m+r= 2,此公式稱為歐拉公式。可以通過歸納法證明,且證明方法和拓撲學中的類似,此處略去。儘管和拓撲中的歐拉公式十分相似,但圖論在現代一般劃分在離散數學的研究範疇內,因此在這裏單獨列出。
- 參考資料
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- 1. 歐拉定理及多面體歐拉公式 .中國知網.2009[引用日期2016-11-19]
- 2. 淺析最美數學公式——歐拉公式之推導歸納 .中國知網.2015-09[引用日期2016-11-19]
- 3. 中國百科大詞典 .中國知網.1990-09[引用日期2016-11-19]
- 4. 曹才翰;沈復興,孫瑞清,餘炯沛等.中國中學教學百科全書:瀋陽出版社,1991-05
- 5. 分式中的歐拉公式 .中國知網[引用日期2016-11-19]
- 6. 單壿.單壿老師教你學數學 : 平面幾何中的小花 .上海:華東師範大學出版社,2011-3